Formularium - Kansrekenen

• proef of toevalsexperiment (TE)
  • volgens vaste regels
  • in theorie oneindig herhaalbaar
  • non-deterministisch
• observaties of experimentele eenheden
• resultaat van TE: alles, ook wat niet expliciet geregisteerd wordt
  • bv. per worp: hoeveel keer gedraaid, waar geland, kruis of munt, ...
• uitkomstenverzameling of steekproefruimte van TE: $\Omega$
  • continuiteit
    • $\#\Omega \leq \aleph_0$: discrete uitkomstenverzameling
    • anders continue uitkomstenverzameling
  • meerdere representaties per TE mogelijk
  • andere $\Omega_n$ per steekproef van grootte $n$
• uitkomst van TE $\omega \in \Omega$: informatief deel van resultaat
  • uitkomst $\subset$ resultaat
  • bestaat uit
    • afzonderlijke elementen
    • of (on)geordende verzamelingen
  • bv. per worp: kruis of munt
• (toevals)variabele of stochast(ische variabele) $X: \Omega \to V: \omega \mapsto X(\omega) = x$
  • continuiteit
    • $\#X(\Omega) \leq \aleph_0$: discrete toevalsvariabele
    • anders continue toevalsvariabele
    • los van discrete/continue uitkomstenverzameling
  • kwalitatief: bereik bestaat uit verschillende categorieen
    • altijd discreet
  • kwantitatief: bereik is numeriek (bv. $\mathbb{R}$)
    • discreet of continu
    • in steekproeven de facto altijd discreet
• gebeurtenis is verzameling $G \subset \Omega$
  • vindt plaats indien uitkomst $\omega \in G$
    • bv. gebeurtenis "harten kaart trekken" en uitkomst "harten 2 trekken"
  • lege gebeurtenis $\varnothing$
  • zekere gebeurtenis $\Omega = \mathcal{U}$
  • elementaire gebeurtenissen $\{ \omega \}$
• gebeurtenis afgeleid van toevalsvariabele $G_{X=x_j} = \{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = x_j \} = X^{-1}(\{x_j\})$
• complement van gebeurtenis $G^\complement = \Omega \setminus G$
• disjuncte of mutueel exclusieve gebeurtenissen $A \cap B = \varnothing$
• kans of probabiliteit is functie $P: \mathcal{G} \to [0,1]: G \mapsto P(G)$
  • $\mathcal{G} = 2^\Omega$ (niet helemaal technisch correct, maar close enough)
  • $P(\Omega) = 1$
  • $P(\bigcup_i G_i) = \sum_i P(G_i)$ als alle $G_i$ paarsgewijs disjunct
  • merk op dat dit nog altijd geen concrete definitie is waar je iets mee kan doen
• voor eindige $\Omega$: $\displaystyle P(G) = \sum_{\omega_j \in G} P(\{\omega_j\})$
• rekenregels
  • $P(A^\complement) = 1 - P(A)$
  • $P(\varnothing) = 0$
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
    • $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ als $A,B$ disjunct
• regel van Laplace: $P(G) = \dfrac{\#G}{\#\Omega}$
  • voorwaarden:
    • $\Omega$ eindig
    • alle $\omega_j$ even waarschijnlijk
• voorwaardelijke kans of conditionele probabilteit $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \iff P(A \cap B) = P(A \mid B)P(B)$
  • voorwaarde: $P(B) \neq 0$
  • veralgemening
    • $P(A \cap B \cap C) = P(C \mid A \cap B)P(A \cap B) = P(C \mid A \cap B)P(B \mid A)P(A)$
    • $P(A_1 \cap \ldots \cap A_n) = \prod_{i=1}^n P(A_i \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{i-1})$
  • $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$
  • $P(A^\complement \mid B) = 1 - P(A \mid B)$
  • $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^\complement) = P(A \mid B)P(B) + P(A \mid B^\complement)P(B^\complement)$
• regel van Bayes: $P(B \cap A) = P(A \cap B) \iff P(B \mid A)P(A) = P(A \mid B)P(B) \iff P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B)P(B)}{P(A)}$
• twee statistisch onafhankelijke gebeurtenissen $\mathcal{G} = \{A,B\}$
  • $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
  • $\iff P(A \mid B) = P(A)$
  • $\iff P(B \mid A) = P(B)$
  • voorwaarden: $P(A) \neq 0$ en $P(B) \neq 0$
• $n$mutueel statistisch onafhankelijke gebeurtenissen $\mathcal{G} = \{G_1, \ldots, G_n\}$
  • $\displaystyle \forall \mathcal{G}' \subset \mathcal{G}: P(\bigcap_{G_i \in \mathcal{G}'} G_i) = \prod_{G_i \in \mathcal{G}'} P(G_i)$
  • voorbeeld: $\mathcal{G} = \{G_1, G_2, G_3\}$ mutueel onafhankelijk $\iff$
    1. $P(G_1 \cap G_2) = P(G_1)P(G_2)$, en
    2. $P(G_1 \cap G_3) = P(G_1)P(G_3)$, en
    3. $P(G_2 \cap G_3) = P(G_2)P(G_3)$, en
    4. $P(G_1 \cap G_2 \cap G_3) = P(G_1)P(G_2)P(G_3)$ - 1-3 (paarsgewijs onafhankelijk) impliceert niet noodzakelijk 4 - 4 implicieert niet noodzakelijk 1-3

Combinatoriek

• vermenigvuldigingsstelling
  • operatie $i$ met $N_i$ deelresultaten
  • $\#\Omega = N_1 \cdot \ldots \cdot N_k$
• zonder teruglegging
  • variatie
    • geordende deelverzameling van $n$ elementen uit een verzameling van $N \geq n$
    • aantal variaties: $\displaystyle V_n^N = \dfrac{N!}{(N-n)!} = \prod_{i=N-n+1}^N i$
      • alle factoren in de noemer komen ook in de teller voor en kan je dus schrappen
    • rekenmachine: N nPr n
    • voorbeeld
      • $X = \{a, b, c\}$
      • $V_2^3 = \dfrac{3!}{1!} = \dfrac{3 \cdot 2 \cdot \cancel{1}}{\cancel{1}} = 6$
      • $(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)$
    • niet in cursus
  • permutatie
    • herschikking van alle elementen uit een verzameling
    • aantal permutaties: $P_N = V_N^N = N!$
    • rekenmachine: N!
    • voorbeeld
      • $X = \{a, b, c\}$
      • $P_3= 3! = 3 \cdot 2 = 6$
      • $(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)$
    • in het Engels betekent permutation zowel variatie als permutatie
  • combinatie
    • ongeordende deelverzameling van $n$ elementen uit een verzameling van $N \geq n$
    • aantal combinaties: $C_n^N = \dbinom{N}{n} = \dfrac{V_n^N}{P_n} = \dfrac{N!}{n!(N-n)!}$
    • rekenmachine: N nCr n
    • voorbeeld
      • $X = \{a, b, c\}$
      • $V_2^3 = \dfrac{3!}{1!} = 6$ (geordend)
        • $(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)$
      • $P_2 = 2! = 2$
        • variatie (geordend) telt elk koppel dubbel
        • deel door aantal permutaties om dubbels weg te werken
        • bv. $(a, b), (b, a) \to \{a, b\}$
      • $\dbinom{3}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$
        • $\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}$
    • rekenregels
      • $\dbinom{N}{n} = \dbinom{N}{N-n}$
      • $\dbinom{N}{0} = \dbinom{N}{N} = 1$
      • driehoek van Pascal: $\dbinom{N}{n} = \dbinom{N-1}{n-1} + \dbinom{N-1}{n}$
    • veralgemening
      • als een partitie van een verzameling uit $k$ deelverzameligen bestaat
        • en de elementen per deelverzameling gelijkwaardig zijn
      • $\displaystyle {N \choose n_1, n_2, \ldots, n_k} = \dfrac{N!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} \mid \sum_i n_i = N$
      • gelijk aan gewone combinatie voor $k=2$
      • heeft eigenschappen van zowel permutatie als combinatie
      • voorbeeld
        • $X = \{-1, 0, 1, 2\}$
        • stel dat we enkel geinteresseerd zijn in het teken van $x_i$
          • $X' = \{-, 0, +, +\}$
          • $n_- = 1$
          • $n_0 = 1$
          • $n_+ = 2$
        • $\displaystyle {4 \choose 1, 1, 2} = \dfrac{4!}{1!\;1!\;2!} = 12$
        • $\{+,+,0,-\}, \{+,+,-,0\}, \{+,0,+,-\}, \{+,0,-,+\}, \{+,-,+,0\}, \{+,-,0,+\}$
        • $\{0,+,+,-\}, \{0,+,-,+\}, \{0,-,+,+\}$
        • $\{-,+,+,0\}, \{-,+,0,+\}, \{-,0,+,+\}$
        • een klassieke permutatie had $4! = 24$ mogelijkheden gegeven
        • $\{+,+,0,-\}$ zou daarin terugkomen als $\{1,2,0,-1\}$ en $\{2,1,0,-1\}$
• met teruglegging
  • niet in cursus
  • multivariatie
    • geordende deelverzameling van $n$ elementen uit een verzameling van $N$
    • aantal multivariaties: $N^n$
    • voorbeeld
      • $X = \{a, b, c\}$
      • $3^2 = 9$
      • $(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)$
  • multicombinatie
    • ongeordende deelverzameling van $n$ elementen uit een verzameling van $N$
    • aantal multicombinaties: $\left(\!\!\dbinom{N}{n}\!\!\right)=\dbinom{N+n-1}{n}$
    • voorbeeld
      • $X = \{a, b, c\}$
      • $\left(\!\!\dbinom{3}{2}\!\!\right)=\dbinom{4}{2} = 6$
      • $\{a, a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, b\}, \{b, c\}, \{c, c\}$