Formularium - Voorkennis

Opgepast: dit is het oude formularium dat hoort bij de oude cursus van prof. Van Mechelen

• meeste leerstof komt uit eerste drie jaren middelbaar
• legende
  • ▰▰▰▰▰: zeer belangrijk
  • ▰▱▱▱▱: weinig belangrijk
  • irrelevant

▰▰▰▱▱ Logica

• deductie: algemeen -> specifiek
• inductie: specifiek -> algemeen
• $\forall x$: voor alle $x$
• $\exists x$: er bestaat een $x$
• $\exists! x$: er bestaat exact één $x$
• implicatie $a \implies b$: als $a$ dan $b$
• equivalentie $a \iff b$: $a$ als en slechts als $b$
  • $a \implies b$ en $b \implies a$
• bewijzen
  • anekdotisch bewijs
    • probeer iets algemeen te bewijzen door 1 specifiek geval te testen
    • goed begin maar niet voldoende
    • voorbeeld
      • hypothese: maal vervangen door plus heeft geen invloed op uitkomst
      • anekdotisch bewijs: $2 + 2 = 4 = 2 \cdot 2$
      • hypothese lijkt OK
      • maar $2 + 3 \neq 2 \cdot 3$ dus hypothese toch ongeldig
  • direct bewijs
    • stel, te bewijzen: linkerkant $L$ = rechterkant $R$
    • 3 manieren
      • $L \to R: L = \ldots = \ldots = R$
      • $R \to L: R = \ldots = \ldots = L$
      • werk beide uit naar tussenoplossing $T$
        • $L = \ldots = T$
        • $R = \ldots = T$
        • dus $L = T = R$
  • bewijs uit het ongerijmde
    • toon aan dat tegengestelde uitspraak een contradictie (↯) veroorzaakt
  • volledige inductie
  • één tegenvoorbeeld volstaat om stelling te ontkrachten
    • maar één voorbeeld is niet genoeg om een stelling te bewijzen
• ongeschreven regels
  • $a \neq b$ kan twee dingen betekenen (meestal het tweede)
    1. $a$ is nooit gelijk aan $b$
    2. $a$ is doorgaans niet gelijk aan $b$, maar gelijkheid is niet uitgesloten in speciale gevallen

▰▰▰▰▰ Algebra

• termen zijn onderdelen van een som of verschil
• factoren zijn onderdelen van een product of deling
• volgorde van bewerkingen
  1. haakjes
  2. machten en wortels
  3. wisselen van teken
  4. producten en delingen (van links naar rechts)
  5. sommen en verschillen (van links naar rechts)
• eigenschappen
  • associatief
    • $(a + b) + c = a + (b + c)$
    • $(a - b) - c \neq a - (b - c)$
    • $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
    • $\dfrac{\frac{a}{b}}{c} \neq \dfrac{a}{\frac{b}{c}}$
      • het is belangrijk welke breukstreep de grootste is
  • commutatief
    • $a + b = b + a$
    • $a - b \neq b - a$
    • $a \cdot b = b \cdot a$
    • $\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$
  • distributief
    • $a \cdot (b+c) = ab + ac$
  • neutraal element
    • $a + 0 = a - 0 = a$
    • $a \cdot 1 = \frac{a}{1} = a$
  • opslorpend element
    • $a \cdot 0 = 0$
• merkwaardige producten
  • $(a \pm b)^2 \neq a^2 \pm b^2$
  • $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
  • $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
  • volgt rechtstreeks uit distributiviteit
  • binomium van Newton
    • $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k}b^{n-k}$
    • zie ook driehoek van Pascal
• machten
  • grondtal $b$
  • exponent $n$
  • rekenregels
    • niet commutatief: $b^n \neq n^b$
    • niet associatief: $(b^n)^m \neq b^{(n^m)}$
    • $b^0 = 1$
    • $b^1 = b$
    • $b^n = \underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n} = \prod_{i=1}^n b \mid n \in \mathbb{N_0}$
    • $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$
    • $b^{n+m} = b^n b^m$
    • $b^{n-m} = \frac{b^n}{b^m}$
    • $b^{nm} = (b^n)^m$
    • $b^\frac{n}{m} = (b^\frac{1}{m})^n = (b^n)^\frac{1}{m} = \sqrt[m]{b^n}$
    • $b^{n^m} = b^{(n^m)}$
    • $(bc)^n = b^n c^n$
    • $(b + c)^n \neq b^n + c^n$
• breuken
  • $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb Z, b \in \mathbb Z_0\}$
  • tegengestelde
    • $-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}$
  • omgekeerde of reciproque
    • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}$
  • vereenvoudigen
    • $\dfrac{a\cancel{c}}{b\cancel{c}} = \dfrac{a}{b}$
  • som en verschil
    • $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{b} = \dfrac{a \pm c}{b}$
    • $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bd} \pm \dfrac{cb}{db} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$
  • product
    • $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
  • deling
    • $\dfrac{a}{\frac{b}{c}} = \dfrac{ac}{b}$: teller en noemer maal $c$
    • $\;\;\;\dfrac{\frac{a}{b}}{c} = \dfrac{a}{bc}$: teller en noemer maal $b$
    • $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \dfrac{d}{c}$: teller en noemer maal $bd$
  • macht
    • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
  • gelijkheid
    • $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff \dfrac{ad}{bd} = \dfrac{cb}{db} \iff ad \overset{\mathbb Z}{=} bc$
• percentages
  • $x\% = \dfrac{x}{100}$
  • $a \pm x\% = a \pm a \cdot \dfrac{x}{100} = a \cdot (1 \pm \dfrac{x}{100})$
  • $a + x\% - x\% = a(1 + \dfrac{x}{100})(1 - \dfrac{x}{100}) \neq a$
• sommatieteken (hoofdletter sigma)
  • $\displaystyle \sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n$
  • $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_{n-1} + x_n$
  • $\displaystyle \sum_{x_i \in X} x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_{n-1} + x_n$
    • met $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}$
  • rekenregels
    • $\displaystyle \sum_{i=1}^n c = \underbrace{c + \ldots + c}_n = nc$
    • $\displaystyle \sum_i (ax_i + by_i) = a\sum_i x_i + b\sum_i y_i$
    • $\displaystyle \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^m x_{ij} \right) = \sum_{j=1}^m \left( \sum_{i=1}^n x_{ij} \right) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_{ij}$
    • $\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \left( \sum_{j=1}^m y_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_i y_j$
    • $\displaystyle \left( \sum_i x_i \right)^2 \neq \sum_i x_i^2$
      • cf. merkwaardige producten
• vermenigvuldigingsteken (hoofdletter pi)
  • $\displaystyle \prod_{i=1}^n i = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$
  • $\displaystyle \prod_{i=1}^n x_i = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_n$
• faculteit
  • $0! = 1$
  • $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N_0}: n! = \prod_{i=1}^n i$
• absolute waarde
  • $|x|$
    • $= +x \mid x \geq 0$
    • $= -x \mid x < 0$
  • $|x| \geq 0$
  • $|x-y| = |y-x|$: afstand tussen $x$ en $y$ in 1 dimensie
• vergelijkingen
  • $x \pm a = y \iff x = y \mp a$
  • $x \pm \cancel{a} = y \pm \cancel{a} \iff x = y$
  • $ax = y \iff x = \dfrac{y}{a}$
  • $\cancel{\pm a}x = \cancel{\pm a}y \iff x=y \mid a \neq 0$
  • $x^a = y \iff x = \sqrt[a]{y}$
  • $a^x = y \iff x = \log_a y$
  • $|ax + b| = c$
    • $ax+b \geq 0 \implies ax+b=c \iff ax=c-b \iff x=\frac{c-b}{a}$
    • $ax+b < 0 \implies -(ax+b)=c \iff -ax=c+b \iff x=\frac{-c-b}{a}$
• evenredigheden
  • $a,b$ recht evenredig: $a \sim b \iff \exists c: a = cb$
  • $a,b$ omgekeerd evenredig: $a \sim \frac{1}{b}$
• ongelijkheden
  • kleiner/groter dan: $\leq$ en $\geq$
  • strikt kleiner/groter dan: $<$ en $>$
    • $\forall a, b \in \mathbb{N}: a \leq b \implies a < b + 1$
    • onderscheid relevant in $\mathbb{N}$, minder in $\mathbb{R}$
  • complementen
    • groter wordt kleiner en vice versa
    • strikt wordt niet-strikt en vice versa
    • voorbeeld (zie verzamelingenleer)
      • $\mathcal{U} = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
      • $A = \{ x \mid x \leq 3 \}$
      • $B = \{ x \mid x \geq 3 \}$
      • $A^\complement = \{ x \mid x > 3 \} \neq B$
      • $B^\complement = \{ x \mid x < 3 \} \neq A$
      • 
  • rekenregels voor $\leq$
    • $a \leq b$ en $b \leq c \implies a \leq c$
    • $a \leq b$ en $a \geq b \implies a=b$
    • $a \leq b \iff a \pm c \leq b \pm c$
    • $a \leq b \iff ac \leq bc$ als $c > 0$
    • $a \leq b \iff ac \geq bc$ als $c < 0$
    • $a \leq b \iff -a \geq -b$
    • $a \leq b \iff \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}$ als $a, b$ zelfde teken hebben
    • $a \leq b \iff\;\; \dfrac{1}{a} \leq \dfrac{1}{b}$ als $a, b$ ander teken hebben
    • $a \leq b \iff \log a \leq \log b$
      • geldig voor alle strikt monotoon stijgende functies
  • eenvoudig te achterhalen door te testen met concrete getallen
    • $2 \leq 4 \iff -2 \geq -4 \iff \dfrac{-1}{2} \leq \dfrac{-1}{4} \iff -0.50 \leq -0.25$

▰▰▰▰▱ Verzamelingenleer

• objecten of elementen $a,b,c$
• verzamelingen $A,B,C$
• $a \in A$ of $a \not\in A$
• kardinaalgetal $\#A$
  • alternatieve notatie: $|A|$
• singleton $A \iff \#A = 1$
• deelverzameling $B \subset A \iff (\forall x: x \in B \implies x \in A)$
  • onder $\subset$ verstaan we hier eigenlijk $\subseteq$
    • cf. $<$ en $\leq$
    • dus $A \subset A$
  • niet hetzelfde als $B \in A$
• twee soorten definities
  • $A = \{a, b, c\}$
  • $B = \{x \in X \mid x \text{ voldoet aan bepaalde regel}\}$
    • gevolg: $B \subset X$
• voorgedefinieerde verzamelingen
  • lege verzameling $\varnothing = \emptyset = \{\}$
    • $\forall x: x \not\in \varnothing$
    • $\varnothing \neq \phi$ (phi)
  • universele verzameling $\mathcal{U}$
    • $\forall x: x \in \mathcal{U}$
  • natuurlijke getallen $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$
  • gehele getallen $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
  • rationale getallen $\mathbb{Q}$
  • reele getallen $\mathbb{R}$
  • complexe getallen $\mathbb{C}$
  • variaties
    • $X^+ = \{x \in X \mid x \geq 0\}$
    • $X^- = \{x \in X \mid x \leq 0\}$
    • $X_0 = \{x \in X \mid x \neq 0\}$
      • opgepast: in sommige andere teksten betekent $X_0 = X \cup \{0\}$
  • interval voor $a,b \in \mathbb{R}$ met $a \leq b$
    • $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$: gesloten interval
    • $[a,b\mathclose[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$: rechts half open interval
    • $]a,b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$: links half open interval
    • $]a,b\mathclose[= \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$: open interval
    • een grenspunt op $\pm \infty$ is altijd open
    • in sommige boeken schrijven ze $]a,b[$ als $(a,b)$
• machtsverzameling $2^A$
  • verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen
  • bevat steeds $\varnothing$ en $A$
  • alternatieve notatie (P van powerset): $\mathcal{P}(A)$
  • bv. $2^{\{a,b\}} = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$
  • opm.: accolades in accolades want verzamelingen in verzameling
  • $\#2^A = 2^{\#A}$: handig om te dubbelchecken dat je niets vergeten bent
• doorsnede $A \cap B = \{x \mid x \in A$ en $x \in B\}$
  • $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap \ldots \cap A_n$
• unie $A \cup B = \{x \mid x \in A$ en/of $x \in B\}$
  • $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i = A_1 \cup \ldots \cup A_n$
• verschil $A \setminus B = \{x \mid x \in A$ en $x \not\in B\}$
  • backslash, geen gewone slash
• complement $A^\complement = \mathcal{U} \setminus A$
  • alternatieve notatie: $\overline A$
• cartesisch product $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A$ en $b \in B\}$
  • genoemd naar René Descartes
  • koppel $(a, b)$: een geordende verzameling van twee elementen
    • notatie: haakjes, geen accolades
  • bv. $\{a,b,c\} \times \{d,e\} = \{(a,d), (a, e), (b, d), (b,e), (c,d), (c,e)\}$
  • cf. $(a+b+c) \cdot (d+e) = ad+ae+bd+be+cd+ce$ (distributiviteit)
  • $\#(A \times B) = \#A \cdot \#B$
  • notatie: $\underbrace{A \times \ldots \times A}_n = A^n$
    • bv. $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$
  • $\#(A^n) = (\#A)^n$
• combinatie machtsverzameling en cartesisch product
  • bv. $2^{\{a\} \times \{b, c\}} = 2^{\{(a,b), (a,c)\}} = \{\varnothing, \{(a,b)\}, \{(a,c)\}, \{(a,b), (a,c)\}\}$
  • elk haakje en elke accolade is essentieel
  • zorg zeker dat je voor elk open haakje een sluitend haakje hebt
  • sluit ze in de juiste volgorde af, dus $(\{\})$ en niet $(\{)\}$
  • $2^{A \times B} \neq 2^A \times 2^B$
  • $2^A \neq A^2$
• volgorde - bij (ongeordende) verzamelingen - $\{a,b\} = \{b,a\}$ - bij koppels en andere geordende verzamelingen - $(a,b) \neq (b,a)$
• grafische voorstelling: Venn diagram
• partitie: opsplitsing in een stel niet-lege, niet-overlappende deelverzamelingen

▰▰▱▱▱ Rekenregels

• opm.: niet van buiten leren
• $A \cup A = A$ (idempotent)
• $A \cap A = A$ (idempotent)
• $A \times A = A^2$ (niet idempotent)
• $(A^\complement)^\complement = A$
• $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = A \cup B \cup C$ (associatief)
• $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C = A \cap B \cap C$ (associatief)
• $A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C \neq A \times B \times C$ (niet associatief)
• $A \cup B = B \cup A$ (commutatief)
• $A \cap B = B \cap A$ (commutatief)
• $A \times B \neq B \times A$ (niet commutatief)
• $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ (distributief)
• $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ (distributief)
• $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ (distributief)
• $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ (distributief)
• $A \cap \varnothing = \varnothing$ (opslorpend element)
• $A \cup \varnothing = A$ (neutraal element)
• $A \times \varnothing = \varnothing = \varnothing \times A$ (opslorpend element)
• $A \cap \mathcal{U} = A$ (neutraal element)
• $A \cup \mathcal{U} = \mathcal{U}$
• $A \cup A^\complement = \mathcal{U}$
• $A \cap A^\complement = \varnothing$
• $(A \times B)^\complement \neq A^\complement \times B^\complement$
• wetten van De Morgan
  • $(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$
  • $(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement$

▰▰▰▰▱ Relaties en functies

• relatie $R \subset A \times B$ tussen twee verzamelingen
• functie $f: D \to B: x \mapsto f(x)$
  • domein $D$
  • onafhankelijke variabele $x \in D$
  • functiewaarde of afhankelijke variabele $y = f(x) \in B$
  • bereik $f(D) \subset B$
    • niet alle elementen van $B$ moeten bereikt worden door $f$
  • merk op: $\to$ en $\mapsto$ zijn twee verschillende soorten pijltjes
  • elke functie is een relatie maar niet elke relatie is een functie
    • voor een functie mag bij elke $x \in D$ maximum één $y \in B$ horen
    • anders kunnen we de $y = f(x)$ notatie niet gebruiken
    • grafisch: elke mogelijke verticale lijn mag de functie maar 1x snijden
    • eenheidscirkel $x^2+y^2=1$ is geen functie want bevat zowel $(0,-1)$ als $(0, 1)$
  • grafische voorstelling: grafiek
  • variabele $x$ is vrij te kiezen en mag je hernoemen
    • bv. $f(x) = x^2 \iff f(y) = y^2$
• soorten functies
  • injectie
  • surjectie
  • bijectie: 1-1 functie
    • bij elke $y \in B$ waarde mag maximum 1 $x \in D$ waarde horen
      • grafisch: elke mogelijke horizontale lijn mag de functie maar 1x snijden
    • voorbeelden
      • wel: $f(x) = ax+b$
      • niet: $f(x) = x^2$ want $f(-2) = f(2) = 4$
• functieverloop
  • nulpunt $x_0 \iff f(x_0) = 0$
    • = snijpunt met $x$-as
  • snijpunt met $y$-as: $f(0)$
  • stijgen en dalen
  • minima en maxima
  • convexiteit
    • convex
    • concaaf
    • buigpunten
  • asymptoten
• samenstelling
  • $f$ na $g$: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
    • enkel als bereik $g \subset$ domein $f$
  • niet commutatief: $f \circ g \neq g \circ f$
• inverse functie $f^{-1}$
  • $(f^{-1} \circ f)(x) = (f \circ f^{-1})(x) = x$
  • bestaat niet altijd
    • wel als $f$ bijectie is
  • $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$
  • voorbeelden
    • $y = f(x) = x+1 \iff y-1 = x = f^{-1}(y)$
    • $y = f(x) = e^x \iff \ln y = x = f^{-1}(y)$
  • niet te verwarren met
    • tegengestelde $-f(x)$
    • omgekeerde of reciproque $f(x)^{-1} = \frac{1}{f(x)}$
    • $f(x^{-1}) = f(\frac{1}{x})$
• belangrijke functies voor statistiek
  • zorg dat je het verloop van al deze functies grafisch kan schetsen
    • incl. variaties
      • spiegeling
      • translatie
      • schaalverandering
  • $f(x) = |x|$
  • $f(x) = x^{-1}$ (hyperbool)
  • $f(x) = x^0 = 1$ (constante)
  • $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$
  • $f(x) = x$ (rechte)
  • $f(x) = x^2$ (parabool)
  • $f(x) = x^3$
  • $f(x) = a^x$ (exponentieel)
  • $f(x) = a^{-x}$
  • $f(x) = \log_a x$
• tekenfunctie $\text{sgn}(x) = \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{x}{|x|} \in \{-1, 1\}$
  • hier niet gedefinieerd voor $x=0$

▰▰▰▰▰ Lineaire functies

• veelterm van graad 1
• grafiek: rechte
• $f(x) = ax + b$
  • richtingscoefficient (rico) $a$ (Engels: slope)
  • snijpunt verticale as $(0,b)$ (Engels: intercept)
• nulpunt $x = \dfrac{-b}{a}$
• rechte door punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$
  • $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
  • $b = f(x_1) - ax_1 = y_1 - ax_1$
  • oplossing is uniek

▰▱▱▱▱ Kwadratisch functies

• veelterm van graad 2
• grafiek: parabool
• $f(x) = ax^2 + bx + c$
• top $\dfrac{-b}{2a}$
• nulpunten
  • discriminant $D = b^2 - 4ac$
  • $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \mid D \geq 0$
    • langs beide kanten op afstand $\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$ van de top
  • samenvallend als $D=0$
  • geen nulpunten in $\mathbb{R}$ als $D<0$
• parabool door nulpunten $x_0$ en $x_1$
  • $f(x) = a(x-x_0)(x-x_1) = a(x^2 -(x_0 + x_1)x + x_0x_1) = a(x^2 -Sx + P)$
  • som $S = x_0 + x_1$
  • product $P = x_0 x_1$
  • kan je gebruiken om te proberen op het zicht nulpunten te zoeken
    • bv. $x^2 - 3x + 2$: som=3, product=2 $\implies x_0=1, x_1=2$
  • bepaal $a$ a.h.v. een extra gegeven coordinaat waar de parabool door loopt

▰▰▰▰▱ Exponentiele en logaritmische functies

• exponentiele functie $\displaystyle\exp: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_0^+: x \mapsto \exp x = e^x$
• logaritme $\log_b: \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R} : x \mapsto \log_b x$
  • alternatieve notatie: ${}^b \log x$
  • $\log_b x = y \iff b^y = x \iff \sqrt[y]{x} = b$
    • "tot welke macht moet ik $b$ verheffen om $x$ te bekomen?"
  • basis $b \in \mathbb{R}_0^+ \setminus \{1\}$
    • binair logaritme: $b=2$
    • natuurlijk logaritme: $b=e$
    • (gewoon) logaritme: $b=10$
  • conventies
    • $\log x = \log_{10} x$
    • $\ln x = \log_e x$
    • andere cursussen kunnen andere conventies hanteren
  • rekenregels (cf. machten)
    • $\log_b 1 = 0 \iff b^0 = 1$
    • $\log_b b = 1 \iff b^1 = b$
    • $\log_b b^x = x \iff b^x = b^x$
    • $\log_b xy = \log_b x + \log_b y$
      • maar $\log_b (x+y) \neq \log_b x \cdot \log_b y$
    • $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$
    • $\log_b \frac{1}{x} = -\log_b x$
    • $\log_b (x^y) = y \log_b x$
    • $\log_b x = \dfrac{1}{\log_x b}$
  • verandering van basis $b$ naar $c \in \mathbb{R}_0^+ \setminus \{1\}$
    • $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$
    • $b^x = c^{x\log_c b}$

▰▰▱▱▱ Andere functies in één veranderlijke

• veeltermen of polynomen van graad 3 of meer
  • schema van Horner
• rationale functies
• irrationale functies
• goniometrische en cyclometrische functies
  • sin, bgsin
  • cos, bgcos
  • tan, bgtan
• hyperbolische functies
  • sinh, bgsinh
  • cosh, bgcosh
  • tanh, bgtanh (enkel voor statistiek, deel 2)
    • $\tanh x = \dfrac{e^{2x}-1} {e^{2x}+1}$
    • $\tanh^{-1} x = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1+x}{1-x}$
• functies in poolcoordinaten

▰▰▱▱▱ Functies van twee veranderlijken

• $f: (A \times B) \to C: (x,y) \mapsto f(x,y)$
  • $(x,y) \in A \times B \iff x \in A$ en $y \in B$
  • $f(x,y) \in C$
• bv. $O(l,b) = l \cdot b$ berekent oppervlakte van rechthoek
• grafisch
  • 3D grafiek
• kan uitgebreid worden naar drie of meer veranderlijken

▰▱▱▱▱ Oneindig grote verzamelingen

• aftelbaar: je kan alle elementen 1 voor 1 opsommen (ook al duurt het oneindig lang)
  • voorbeeld: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots \}$
  • tegenvoorbeeld: $[0,1] = \{0, 0.1, 0.01, \ldots \}$
    • je komt zelfs na oneindige tijd nog niet eens aan $0.2$
  • elke eindige set is aftelbaar
• soorten oneindig ($\infty$)
  • $\#\mathbb{N} = \aleph_0$ (Hebreeuwse letter Alef)
  • $\#\mathbb{R} = \beth_1$ (Hebreeuwse letter Bet)
  • $\aleph_0 < \beth_1$
• $A$ is aftelbaar oneindig als $\#A = \aleph_0$
  • bewijs door bijectie $f:A \to \mathbb{N}$ te vinden
    • $f$ geeft elk element een uniek rangnummer
  • bv. $\mathbb{N}^2, \mathbb{Z}, \mathbb{Z}^2, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}^2$
  • er zijn dus evenveel gehele getallen als natuurlijke getallen
  • maar er zijn er tegelijk ook dubbel zoveel, want voor elke $x$ heb je ook $-x$?
  • bewijs voor $\mathbb{Z}$
    • $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}:$
      • $x \mapsto 2x \mid x \geq 0$
      • $x \mapsto -2x-1 \mid x < 0$
    • voorbeeld
      • $\mathbb{Z} \leftrightarrow \mathbb{N}$
      • $0 \leftrightarrow 0$
      • $-1 \leftrightarrow 1$
      • $1 \leftrightarrow 2$
      • $-2 \leftrightarrow 3$
      • $2 \leftrightarrow 4$
      • ...
    • voor elk geheel getal kunnen we dus exact 1 natuurlijk getal vinden en andersom
    • dus moeten er wel evenveel zijn
    • ook al spelen we "vals" door verderop in de rij een match te zoeken
• $A$ is overaftelbaar oneindig als $\#A > \aleph_0$
  • bv. $\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, 2^\mathbb{N}, [a,b]$

▰▰▱▱▱ Calculus

• rijen en reeksen
  • rekenkundige rij
    • startwaarde $t_0$
    • verschil $v$
    • $t_{n} = t_{n-1} + v = t_0 + nv$
  • meetkundige of geometrische rij
    • startwaarde $t_0$
    • quotiënt $r$
    • $t_{n} = rt_{n-1} = r^n t_0$
• limieten
  • l'Hôpital
• afgeleiden:
  • richtingscoefficient van raaklijn
  • rekenregels
    • kettingregel
  • partiele afgeleiden
  • differentiaalvergelijkingen
• integralen
  • Riemannsom
  • hoofdstelling
    • voor continue functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ geldt
      • primitieve functie $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$
      • $F'(x) = f(x)$
    • $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
    • $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx \mid a \leq b \leq c$
  • 2D: oppervlakte onder curve
  • 3D: volume onder oppervlak
  • integratietechnieken
    • substitutie
    • partiele integratie
    • splitsen in partieelbreuken
    • oplossen met meetkunde
• toepassing
  • omzetting $\varphi(x) \leftrightarrow \Phi(x)$

▰▰▰▰▱ Meetkunde

• afstand
  • 1D: $|x_2 - x_1|$
  • 2D: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ tussen $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$
• omtrek (2D)
  • minder belangrijk
• oppervlakte (2D)
  • driehoek: $\dfrac{b \cdot h}{2}$
  • vierkant: $l^2$
  • rechthoek: $l \cdot b$
  • parallellogram: $l \cdot b$
  • trapezium: $\dfrac{(b + B) \cdot h}{2}$
    • alternatief: opsplitsen in rechthoek en driehoek(en)
  • ruit: $\dfrac{D \cdot d}{2}$
  • cirkel: $\pi r^2$
• inhoud of volume (3D)
  • vuistregel: oppervlakte grondvlak $\cdot$ hoogte
• driehoeksmeetkunde of goniometrie
  • Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$
    • enkel in rechthoekige driehoek
  • sinusregel
  • cosinusregel
  • gelijkvormigheid en congruentie
• hoeken: scherp, recht, stomp
• punten, rechten, vlakken
• vectoren, coordinaten
• kegelsneden

▰▱▱▱▱ Lineaire algebra

• matrices
• determinanten
• stelsels van lineaire vergelijkingen
  • $n$ onbekenden
  • $n$ onafhankelijke vergelijkingen nodig om unieke oplossing te vinden

▰▰▰▰▰ Vraagstukken

• opgaven interpreteren
• opgaven omzetten in symbolen (gegeven, gevraagd/te bewijzen, ...)

▰▰▰▰▰ Grafieken en diagrammen lezen

• onafhankelijke variabele(n)
• afhankelijke variabele(n)
• kwantitatief vs kwalitatief
• interpretatie

▰▱▱▱▱ Varia

• boek kaarten bevat
  • $13 \times \heartsuit$: harten
  • $13 \times \diamondsuit$: koeken
  • $13 \times \clubsuit$: klaveren
  • $13 \times \spadesuit$: schoppen
  • totaal: $52$
• dobbelsteen
  • som tegenovergestelde kanten = 7
    • ⚀ + ⚅
    • ⚁ + ⚄
    • ⚂ + ⚃
• Grieks alfabet
  • $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta$
  • $\eta, \vartheta, \iota, \kappa, \lambda, \mu$
  • $\nu, \xi, \omicron, \pi, \rho, \sigma$
  • $\tau, \upsilon, \varphi, \chi, \psi, \omega$
  • $\Alpha, \Beta, \Gamma, \Delta, \Epsilon, \Zeta$
  • $\Eta, \Theta, \Iota, \Kappa, \Lambda, \Mu$
  • $\Nu, \Xi, \Omicron, \Pi, \Rho, \Sigma$
  • $\Tau, \Upsilon, \Phi, \Chi, \Psi, \Omega$
  • $\epsilon = \varepsilon$
  • $\theta = \vartheta$
  • $\phi = \varphi \neq \varnothing$