Examen statistiek 1 - januari 20225

• https://docs.google.com/document/d/10Ub6j6Iyk223wquwlGKqWJMR__54nDqNA8d4igW4-VI/edit

Meerkeuzevragen

Q1

• welke stelling is NIET correct?
  • ✅ exponentieel: gemiddelde en mediaan zijn niet altijd gelijk aan mekaar
    • $\mu = \frac{1}{\lambda}$
    • $Me = \Phi^{-1}(0.50) = \frac{-\ln(1-0.50)}{\lambda} = \frac{0.6931}{\lambda} \neq \frac{1}{\lambda}$
  • ✅ geometrisch: gemiddelde en mediaan zijn niet altijd gelijk aan mekaar
    • $\mu = \frac{1}{\vartheta}$
    • $Me = \Phi^{-1}(0.50) = \frac{\log(1 - 0.50)}{\log(1 - \vartheta)} = \frac{-0.3010}{\log(1 - \vartheta)} \neq \frac{1}{\vartheta}$
  • ✅ uniform: Me is altijd gelijk aan gemiddelde
    • $\mu = \frac{a+b}{2}$
    • $Me = \Phi^{-1}(0.50) = a + 0.50(b - a) = \frac{a+b}{2}$
  • ❌ bernouilli: Me is altijd gelijk aan gemiddelde
    • $\mu = \vartheta$
    • $Me = 0$ of $1$ of $0.5$ (afhankelijk van $\vartheta$)

Q2

• cf. 2021-08, Q4

Lisa zat samen met 17 andere studenten in een collaborategroep. De groep van 18 werd willekeurig in drie even grote groepen verdeeld. Ze vond diegenen waarmee ze samen zat in het groepje leuk en ze hoopt dat ze de volgende keer met dezelfde personen in het groepje zit. Wat is de kans dat dit zo is?

• gegeven
  • $n = 18$
  • $n_L = \frac{18}{3} = 6$
• gevraagd
  • terug met zelfde 5 personen in groep
• oplossing 1
  • ongeordend
  • zonder teruglegging
  • dus combinatie
  • $\binom{n-1}{\frac{n}{3}-1}$
    • $= \binom{17}{5}$
    • $= 6188$
  • maakt niet uit in welke groep Lisa zit
  • $\frac{1}{6188} \approx 0.0001616$
• oplossing 2
  • $\frac{3}{\binom{18}{6}}$
  • $= 3 \cdot \frac{6!}{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}$
  • $\approx 0.0001616$

Q3

• gegeven
  • $n = 350$
  • gemiddelde
  • variantie
• gevraagd
  • minimum aantal personen met score strikt kleiner dan ...
• oplossing
  • Tchebychev

Q4

• gegeven
  • 5% kans op 1 of meer paniekaanval binnen de 10 uur
• gevraagd
  • gemiddeld aantal paniekaanvallen per dag
• oplossing
  • $X$: aantal paniekaanvallen per 10u
  • $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$
  • $P(X \geq 1) = 0.05$
  • $\iff P(X = 0) = 0.95 = e^{-\lambda}$
  • $\iff \lambda = -\ln(0.95) \approx 0.0513$
  • proportionaliteit: 10u -> 24u (x2.4)
    • $X^{2.4} \sim \operatorname{Poisson}(2.4\lambda)$
    • $\mu_{X^{2.4}} = 2.4\lambda \approx 0.1231$

Q5

• cf. 2022-08, Q6
• gevraagd
  • $s^2_{y^{est}}$
• oplossing
  • $s^2_{y^{est}}$
  • $= s^2_{b_0 + b_1x}$
  • $= |b_1|s^2_x$

Q6

• gegeven
  • 3D dichtheidsfunctie $\varphi_{X,Y}(x,y)$
  • grote balk heeft driemaal volume van kleine balk
• gevraagd
  • kans op ..?

Q7

• gegeven
  • $A, B, C$ (mutueel?) onafhankelijk
  • $P(A \mid B) = 0.40$
  • $P(B \mid C) = 0.30$
• gevraagd
  • $P(A^\complement \mid B)$
  • $P(A^\complement \mid C)$
• oplossing
  • onafhankelijk, dus voorwaarden achter streep maken niet uit
    • $P(A) = P(A \mid B) = 0.40$
    • $P(B) = P(B \mid C) = 0.30$
    • $P(A^\complement \mid B) = P(A^\complement)$
    • $P(A^\complement \mid C) = P(A^\complement)$
  • $P(A^\complement) = 1 - P(A) = 1 - 0.40 = 0.60$

Q8

• gegeven
  • OLV van $B$ o.b.v. $C$

$B$	$C$
...	...

• gevraagd
  • $b^{est}(20)$

Q9

Een leerkracht wil weten wat de 22 leerlingen uit zijn klas van hem vinden en hij laat de kinderen allemaal een score opschrijven op een briefje. Hij berekent de gemiddeldes en komt uit om 8,5. Iemand heeft een extreme score van 20 gegeven en de leerkracht vindt dit onwaarschijnlijk en verandert de score van een 20 naar een 10. Bereken het nieuwe gemiddelde.

• gegeven
  • $n = 22$
  • $\overline x = 8.5$
  • $x_{22}: 20 \to 10$
• gevraagd
  • nieuwe $\overline x$
• oplossing 1
  • $\frac{1}{22}(x_1 + \ldots + x_{21} + 20) = 8.5$
  • $\iff \frac{1}{22}(x_1 + \ldots + x_{21}) + \frac{20}{22} = 8.5$
  • $\iff \frac{1}{22}(x_1 + \ldots + x_{21}) \approx 7.5909$
  • $\iff \frac{1}{22}(x_1 + \ldots + x_{21}) + \frac{10}{22} \approx 8.0455$
• oplossing 2
  • $8.5 - \frac{20-10}{22} \approx 8.0455$

Q10

• gegeven
  • $X \sim N(0, 1)$
• gevraagd
  • $\varphi_X(0.645)$
• oplossing
  • statistische tabellen niet geschikt (want cumulatief)
  • $\varphi_X(x)$
    • $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
    • $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$
  • $\varphi_X(0.645)$
    • $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{0.645^2}{2}}$
    • $\displaystyle \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 0.8122$
    • $\approx 0.3240$

Q11

• gegeven
  • $\varphi_X(x)$ (via functievoorschrift?)
• gevraagd
  • $Pc^*_{37}$
• oplossing
  • zoek $x$ zodat oppervlakte onder grafiek tot dat punt gelijk is aan 37%

Q12

• gegeven
  • cumulatieve tabel $F_X$
  • $Y = -2X + 5$
• gevraagd
  • $y_{0.80}$
• oplossing
  • $F_X$ omzetten in $p_X$
  • waarden van proportie $0$ schrappen
  • $p_Y$ uit $p_X$ berekenen
  • tabel opnieuw sorteren van kleine naar grote $y$-waarden
  • $F_Y$ uit $p_Y$ berekenen
  • $y_{0.80}$ berekenen ("geval 2")

Q13

• cf. 2020-01, Q9
• gegeven
  • $a = 0.16$
  • $X, Y$ i.i.d.

$\pi_{X,Y}$	$X=14$	$X=15$
$Y=14$	$a$	$c$
$Y=15$	$b$	$d$

• gevraagd
  • $b$
• oplossing
  • $\pi_X(14) = \pi_Y(14) = x$ (identiek verdeeld)
  • $\pi_X(15) = \pi_Y(15) = 1-x$ (som is $1$)
  • $\pi_{XY}(14,14) = x^2 = 0.16 \iff x = 0.4$ (onafhankelijk)
  • $b = c = x(1-x) = 0.24$
  • $d = (1-x)^2 = 0.36$

Q14

• gegeven
  • ?
• gevraagd
  • $P(X<3 \mid Y>1)$
• oplossing
  • $P(X<3 \mid Y>1)$
  • $= \frac{P(X<3 \cap Y>1)}{P(Y>1)}$
  • $= \frac{0.33}{0.52}$
  • $\approx 0.6346$

Q15

• gegeven
  • $Y = \frac{X - \overline x}{s'_x}$
• gevraagd
  • $s_y$
• oplossing
  • normaal is bij Z-score $s_z = 1$
    • maar hier $s'_x$ i.p.v. $s_x$ in noemer
  • $s_x^{\prime 2} = \frac{n}{n-1} s_x^2$
  • $\iff s'_x = \sqrt{\frac{n}{n-1}} s_x$
  • $Y$
    • $= \frac{X - \overline x}{\sqrt{\frac{n}{n-1}} s_x}$
    • $= \frac{1}{\sqrt{\frac{n}{n-1}}} \frac{X - \overline x}{s_x}$ (breuk splitsen)
    • $= \frac{1}{\sqrt{\frac{n}{n-1}}} Z_X(x)$ (definitie Z-transformatie)
    • $= \sqrt{\frac{n-1}{n}} Z_X(x)$ (vereenvoudig)
  • $s_y$
    • $= |\sqrt{\frac{n-1}{n}}|s_{Z_X(x)}$ (lineaire transformatie standaard deviatie)
    • $= |\sqrt{\frac{n-1}{n}}|$ ($s_{Z_X(x)} = 1$)
    • $= \sqrt{\frac{n-1}{n}}$ (altijd positief)

Q16

• gegeven
  • $\overline x = 21$
  • $s_x = 7$
  • $Y = \frac{X}{7} - 2$
• gevraagd
  • $\overline y$
  • $s_y^2$
• oplossing
  • $\overline y = \frac{1}{7} \overline x - 2 = 1$
  • $s_y = |\frac{1}{7}|s_x = 1$
  • $s_y^2 = (\frac{1}{7})^2 s_x^2 = 1$

Open vragen

Q1

• gegeven
  • cumulatieve tabel $\Phi_{X,Y}(x, y)$
• gevraagd
  • $\rho_{XY}$
• oplossing
  • bereken $\pi_{X,Y}(x, y)$
  • data ingeven in ZRM (L1, L2)
    • proporties/kansmassa's omzetten in frequenties (kies passende $n$)
      • zie ook deze blogpost
    • waardes met frequentie > 1 meerdere keren ingeven
  • correlatie berekenen via 2-Var Stats

Q2

• gegeven
  • HE voor $X_1$: geen
  • HE voor $X_2$: -8
  • interactie: geen
• gevraagd
  • vul tabel aan

	$X_2=-1$	$X_2=+1$
$X_1=+1$	?	?	$10$
$X_1=-1$	?	?	?
	?	?	?

• oplossing
  • $b_0 + b_1 = 10 \implies b_0 = 10$
  • $\overline{Y \mid X_1, X_2} = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_3 X_1 X_2$
    • $b_0 = 10$
    • $b_1 = 0$
    • $b_2 = \frac{-8}{2} = -4$
    • $b_3 = 0$
    • $\overline{Y \mid X_1, X_2} = 10 - 4 X_2$

	$X_2=-1$	$X_2=+1$
$X_1=+1$	$14$	$6$	$10$
$X_1=-1$	$14$	$6$	$10$
	$14$	$6$	$10$

Q3

• gegeven
  • voorwaarden
    • $D_2^* = 0.30$
    • $\Phi_X(5) = 0.60$
    • $P(X > 3) = 0.40$
• gevraagd
  • $\pi_X$ tabel
• oplossing
  • veel mogelijkheden

$X$	$\pi_X(x)$	$\Phi_X(x)$
$0.30$	$0.60$	$0.60$
$5$	$0.00$	$0.60$
$6$	$0.40$	$1.00$

Q4

• gegeven
  • ?
• gevraagd
  • covariantie
• oplossing
  • $\sigma_{XY} = E[X \cdot Y] - E[X] \cdot E[Y]$