Formularium - Statistiek deel 2

Work in progress...

1-2 Steekproevenverdeling

• concepten (herhaling statistiek 1)
  • populatie
  • (populatieverdeling)
  • (populatie)parameter $\vartheta$
  • toevalsvariabele (TV)
    • heeft een verdeling, gemiddelde, variantie, ...
    • symbolen altijd in hoofdletters ($X, \overline X, S_X, \ldots$)
      • uitzondering: $r_{XY}$
  • trekking op zuiver toevallig wijze (ZTW)
    • met teruglegging
  • steekproef
    • steekproefgrootte $n$
  • statistische maat
    • vast recept
    • input: een steekproef
    • output: exact één getal
    • symbolen altijd met kleine letters
    • voorbeelden
      • $\overline x$
      • $s_x$
  • statistiek $T$
    • gelijkaardig aan statistische maat
    • input: meerdere steekproeven van gelijke grootte $n$
    • output: toevalsvariabele
      • dus niet meer één getal
      • dus symbolen met hoofdletters
    • voorbeelden
      • $\overline X_n$
      • $S_{X_n}$
  • standaardfout / standard error (SE)
    • standaardafwijking $\sigma_T$ van statistiek $T$
  • steekproevenverdeling $\pi_T$ of $\varphi_T$
    • verdelingsfunctie van statistiek $T$
  • (parameter)schatter $\hat\vartheta$
    • statistiek die populatieparameter $\vartheta$ benadert
    • voorbeelden
      • $\overline X$ voor $\mu$
      • $S'_X$ voor $\sigma_X$
  • i.d. = identically distributed
  • i.i.d. = independent and identically distributed
    • onafhankelijk
      • $P(X_2 \mid X_1) = P(X_2)$
      • $P(X_1 \cap X_2) = P(X_1) \cdot P(X_2)$
    • identiek verdeeld
      • $\pi_{X_1}(x) = \pi_{X_2}(x)$ of
      • $\varphi_{X_1}(x) = \varphi_{X_2}(x)$
      • niet: $X_1 = X_2$
• enumeratieve methode van steekproevenverdeling
  • bepaal verdeling door alle combinaties uit te schrijven
  • enkel haalbaar voor kleine $n$

Twee studenten kiezen elk random één van de getallen 0, 1 of 2. Wat is de kans dat het gemiddelde van hun getallen kleiner is dan 1.5?

$$P(\overline X < 1.5) = \frac{6}{3^2} \approx 0.6667$$

$X_1$	$X_2$	$\overline X_2$
0	0	0.0
0	1	0.5
0	2	1.0
1	0	0.5
1	1	1.0
1	2	1.5
2	0	1.0
2	1	1.5
2	2	2.0

Gemiddelde en variantie van $\overline X$

• met teruglegging: $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d.
  • $\mu_{\overline X} = \mu_X$
  • $\sigma_{\overline X}^2 = \dfrac{\sigma_X^2}{n}$ en $\sigma_{\overline X} = \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n}$
    • dus schatting van populatiegemiddelde wordt beter en beter (kleinere spreiding) als $n$ groter wordt
• zonder teruglegging: $X_1, \ldots, X_n$ i.d.
  • $\mu_{\overline X} = \mu_X$
  • eindige populatie
    • populatiecorrectiefactor (PCF): $\dfrac{N-n}{N-1}$
    • $\sigma_{\overline X}^2 = \dfrac{\sigma_X^2}{n} \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$
  • oneindige populatie
    • zelfde als met teruglegging
    • $\displaystyle \sigma_{\overline X}^2 = \lim_{N \to \infty} \dfrac{\sigma_X^2}{n} \cdot \dfrac{N-n}{N-1} = \dfrac{\sigma_X^2}{n}$
    • gebruik als benadering vanaf $N \geq 20n$

We trekken met teruglegging een steekproef van grootte 70 uit een eindige populatie van grootte 500 met populatiegemiddelde 220 en variantie 324. Wat is de standaarddeviatie van het steekproefgemiddelde?

• gegeven
  • $N = 500$
  • $n = 70$
  • met teruglegging
  • $\mu_X = 220$
  • $\sigma_X^2 = 324$
• gevraagd
  • $\sigma_{\overline X}$
• oplossing
  • $N < 20n = 1400$
    • dus correctiefactor voor teruglegging nodig
  • $\sigma_{\overline X}^2$
    • $= \dfrac{\sigma_X^2}{n} \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$
    • $= \dfrac{324}{70} \cdot \dfrac{500-70}{500-1}$
    • $= \dfrac{324}{70} \cdot \dfrac{430}{499}$
    • $\approx 3.9885$
  • $\sigma_{\overline X}$
    • $= \sqrt{\sigma_{\overline X}^2}$
    • $\approx 1.9971$
• antwoordmogelijkheden
  • A: $\sigma_{\overline X}$ met correctiefactor
  • B: $\sigma_{\overline X}^2$ met correctiefactor
  • C: $\sigma_{\overline X}$ zonder correctiefactor
  • D: $\sigma_{\overline X}^2$ zonder correctiefactor

Verdeling van $\overline X$

• als $X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$
  • dan $\overline X \sim N\left(\mu_X, \dfrac{\sigma^2_X}{n}\right)$
• als $X$ niet normaal verdeeld is
  • als $n > 30$
    • met teruglegging: $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d.
      • centrale limietstelling: $\overline X \sim N\left(\mu_X, \dfrac{\sigma^2_X}{n}\right)$
    • zonder teruglegging
      • eindige populatie
        • $\overline X \sim N\left(\mu_X, \dfrac{\sigma^2_X}{n} \cdot \dfrac{N-n}{N-1}\right)$
      • oneindige populatie of $N \geq 20n$
        • centrale limietstelling: $\overline X \sim N\left(\mu_X, \dfrac{\sigma^2_X}{n}\right)$
  • als $n \leq 30$
    • andere oplossing (computersimulatie, ...)

Een psychologisch onderzoeker bestudeert reactietijden bij een cognitieve taak. De reactietijden zijn normaal verdeeld met verwachte waarde $\mu_X = 600$ milliseconden en een standaardafwijking $\sigma_X = 100$ milliseconden. Als de onderzoeker een steekproef van 25 personen neemt, wat is dan de kans dat de gemiddelde reactietijd van deze 25 personen meer is dan 620 milliseconden?

• gegeven
  • $X \sim N(600, 100^2)$
    • dus oneindige populatie
  • $n= 25$
• gevraagd
  • $P(\overline X_{25} > 620)$
• oplossing
  • $\sigma_{\overline X} = \frac{100}{\sqrt{25}} = 20$
  • $\overline X \sim N(600, 20^2)$
  • $P(\overline X_{25} > 620)$
  • $= 1 - P(\overline X_{25} \leq 620)$
  • $= 1 - P(\frac{\overline X_{25} - 600}{20} \leq \frac{620-600}{20})$
  • $= 1 - P(Z_{\overline X_{25}} \leq \frac{620-600}{20})$
  • $= 1 - \Phi_{Z_{\overline X_{25}}}^{-1}(1)$
  • $\in [0.155, 0.160]$

De tijd die een patiënt doorbrengt bij de psycholoog heeft een exponentiële verdeling. De verwachte duur van een therapiesessie is 1 uur en de standaardafwijking is 1 uur. Een psycholoog heeft 70 patiënten in behandeling. Wat is de kans dat de gemiddelde therapiesessie langer duurt dan 50 minuten?

• gegeven
  • $X$: tijd bij psycholoog (in minuten)
  • $\mu_X = 60$
  • $\sigma_X = 60$
  • $X \sim Expon(\frac{1}{\mu_X})$
  • $n = 70$
• gevraagd
  • $P(\overline X > 50)$
• oplossing
  • $X$ niet normaal verdeeld
  • $n > 30$
  • oneindige populatie
  • centrale limietstelling: $\overline X \sim N\left(60, \dfrac{60^2}{70}\right)$
  • $\sigma_{\overline X} \approx 7.1714$
  • $P(\overline X > 50)$
  • $= 1 - P(\overline X \leq 50)$
  • $= 1 - P(\frac{\overline X - 60}{7.1714} \leq \frac{50 - 60}{7.1714})$
  • $= 1 - \Phi_Z^{-1}(-1.3944)$
  • $\in [0.915, 0.920]$

Een farmabedrijf telt 3500 werknemers. Uit voorgaande tests is gebleken dat de gemiddelde IQ-score van de werknemers 110 is met een standaardafwijking gelijk aan 12. Je neemt een steekproef van 200 verschillende werknemers en je vraagt je af of hun IQ-scores representatief zijn voor de gehele werkvloer. Wat is de kans dat het gemiddeld IQ in je steekproef binnen 2 punten van het gemiddelde van het ganse bedrijf valt?

• gegeven
  • $X$: IQ van werknemers farmabedrijf
  • $N = 3500$
  • $\mu_X = 110$
  • $\sigma_X = 12$
  • $n = 200$
• gevraagd
  • $P(|\overline X - \mu_X| < 2)$
  • $= P(108 \leq \overline X \leq 112)$
  • $= P(\overline X \leq 112) - P(\overline X < 108)$
• oplossing
  • $X$ niet normaal verdeeld
    • (IQ is meestal wel normaal verdeeld, maar hier niet gegeven)
  • $n > 30$
  • zonder teruglegging
  • eindige populatie met $N < 20n$
    • dus correctiefactor nodig
  • $\overline X \sim N\left(\mu_X, \dfrac{\sigma^2_X}{n} \cdot \dfrac{N-n}{N-1}\right)$
  • $\sigma_{\overline X} \approx \sqrt{0.6791} \approx 0.8240$
  • $P(\overline X \leq 112) - P(\overline X < 108)$
  • $= \Phi_Z^{-1}(\frac{112-110}{0.8240}) - \Phi_Z^{-1}(\frac{108-110}{0.8240})$
  • $= \Phi_Z^{-1}(2.4271) - \Phi_Z^{-1}(-2.4271)$
  • $\in [0.984, 0.986]$

Toepassing: normale benadering voor binomiale verdeling

• $X_i \sim Bern(\vartheta)$
  • $\mu_{X_i} = \vartheta$
  • $\sigma_{X_i}^2 = \vartheta(1 - \vartheta)$
• $Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim Bin(n, \vartheta)$
  • $\mu_Y = n\vartheta$
  • $\sigma_Y^2 = n\vartheta(1 - \vartheta)$
• exacte oplossing vraagt vaak veel rekenwerk
• alternatief: benadering via normale verdeling
• merk op: $\overline X_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{Y}{n}$
  • $\mu_{\overline X_n} = \vartheta$
  • $\sigma_{\overline X_n}^2 = \frac{\vartheta(1 - \vartheta)}{n}$
• als $n\vartheta \geq 10$ en $n(1 - \vartheta) \geq 10$
  • met teruglegging: $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d.
    • centrale limietstelling
      • $\overline X_n \sim N\left(\vartheta, \frac{\vartheta(1 - \vartheta)}{n}\right)$
      • $Y \sim N(n\vartheta, n\vartheta(1 - \vartheta))$
  • zonder teruglegging
    • eindige populatie ($N < 20n$)
      • benadering niet geldig
    • oneindige populatie of $N \geq 20n$
      • idem als met teruglegging
• continuiteitscorrectie

Bionomiaal	Normaal
$P(X = c)$	$P(c-0.5 < X < c+0.5)$
$P(X > c)$	$P(X > c + 0.5)$
$P(X \geq c)$	$P(X > c - 0.5)$
$P(X < c)$	$P(X < c - 0.5)$
$P(X \leq c)$	$P(X < c + 0.5)$

6 procent van de bevolking is universele bloeddonor (kan bloed doneren aan iedereen). Een ziekenhuis heeft 10 universele bloeddonoren nodig. Er bieden zich 200 kandidaten aan om bloed te geven. Wat is de kans dat hier minstens 10 universele bloeddonoren bij zijn?

• gegeven
  • $Y$: aantal universele bloeddonoren
  • $\vartheta = 0.06$
  • $n = 200$
• gevraagd
  • $P(Y \geq 10)$
• oplossing
  • $n\vartheta = 12 \geq 10$ en $n(1 - \vartheta) = 188 \geq 10$
  • oneindige populatie
  • $Y \sim N(n\vartheta, n\vartheta(1 - \vartheta)) \sim N(12, 11.28)$
  • continuiteitscorrectie
    • $P(Y \geq 10) \to P(Y > 9.5)$
  • $P(\frac{Y - 12}{\sqrt{11.28}} > \frac{9.5 - 12}{\sqrt{11.28}})$
  • $= 1- P(\frac{Y - 12}{\sqrt{11.28}} \leq \frac{9.5 - 12}{\sqrt{11.28}})$
  • $= 1 - \Phi_Z^{-1}(-0.7444)$
  • $\in [0.770, 0.775]$

Andere steekproevenverdelingen

• als $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$
  • dan $\dfrac{(n-1)S_X^{\prime 2}}{\sigma_X^2} \sim \chi^2_{df=n-1}$
  • en dus $\dfrac{nS_X^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2_{df=n-1}$
• rest: zie formularium

Een socioloog onderzoekt de onderlinge verschillen in het aantal uren per week dat studenten aan een universiteit gemiddeld besteden aan sociale media. Eerder onderzoek heeft aangetoond dat de populatiestandaarddeviatie van het aantal uren dat studenten op sociale media doorbrengen 4 uur is. Voor een steekproef van 35 studenten blijkt de steekproefvariantie $S_X^{\prime 2}$ in hun gebruik van sociale media 20 uur te zijn. Hoe extreem is deze waarde, m.a.w. wat is de kans om een steekproefvariantie te observeren die minstens even groot is? (bij een even grote steekproef)

• gegeven
  • $X$: uren sociale media
  • $\sigma_X = 4$
  • $n = 35$
  • $S_X^{\prime 2} = 20$
• gevraagd
  • $P(S_X^{\prime 2} \geq 20)$
• oplossing
  • extra assumptie: $X$ normaal verdeeld
  • $\dfrac{34S_X^{\prime 2}}{4^2} \sim \chi^2_{df=34}$
  • $P(S_X^{\prime 2} \geq 20)$
  • $= P(\frac{34 S_X^{\prime 2}}{16} \geq \frac{34 \cdot 20}{16})$
  • $= 1 - P(\frac{34 S_X^{\prime 2}}{16} < \frac{34 \cdot 20}{16})$
  • $= 1 - P(\frac{34 S_X^{\prime 2}}{16} \leq 42.5)$
  • $= 1 - \Phi_{\chi^2}^{-1}(42.5)$
  • $\in [0.15, 0.20]$

3 Schatters

• kwaliteit
  • cf. schot in roos
  • zuiverheid
    • $E[\hat\vartheta_n] = \vartheta$
  • asymptotische zuiverheid
    • $\displaystyle \lim_{n \to \infty} E[\hat\vartheta_n] = \vartheta$
  • nauwkeurigheid / betrouwbaarheid
    • $\sigma_{\hat\vartheta_n}$ klein
  • mean squared error (MSE)
    • $E[(\hat\vartheta_n - \vartheta)^2] = \sigma_{\hat\vartheta_n}^2 + (E[\hat\vartheta_n] - \vartheta)^2$
  • consistente schatter
    • $\displaystyle \lim_{n \to \infty} MSE = 0$
    • dus als $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sigma_{\hat\vartheta_n}^2 = 0$ EN asymptotisch zuiver

Puntschatter $\overline X_n$

• eigenschappen
  • zuiver
  • asymptotisch zuiver
  • consistent

Veronderstel dat $X_1, X_2, X_3$ i.i.d. toevalsvariabelen zijn met verwachte waarde $\mu_X$. Welk van onderstaande schatters voor $\mu_X$ is zuiver? Welke schatter zou je verkiezen? En waarom?

1. $\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)$
2. $\frac{1}{2}(X_1 + X_2)$
3. $0.75X_1 + 0.75X_2 - 0.5X_3$
4. $\frac{1}{2}(X_1 + X_2 + X_3)$

• zuiver
  • (1) ja
  • (2) ja: $E[\frac{1}{2}(X_1 + X_2)] = \frac{1}{2}(E[X_1] + E[X_2]) = \frac{1}{2}(\mu_X + \mu_X) = \mu_X$
  • (3) ja
  • (4) nee
• beste keuze
  • (1) dit is $\overline X$
    • neemt elke toevalsvariabele mee in rekening
    • geeft elke variabele evenveel gewicht

95% intervalschatting voor $\mu_X$

• assumpties
  • $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$
  • gekende variantie
• bereken betrouwbaarheidsinterval (BI)
  • ondergrens OG
  • bovengrens BG
• $\alpha = 1 - 95\% = 0.05$
• interval waarbinnen $\mu_X$ zich in 95% van alle steekproeven bevindt
  • in symbolen: $P(OG \leq \mu_X \leq BG) = 0.95$
• verschillend per steekproef
• symmetrisch rond $\overline x$
  • merk op: BIs zijn niet voor alle parameters symmetrisch (maar wel voor gemiddelde)
• kritieke waarden
  • $-1.96 = \Phi_Z^{-1}(\frac{\alpha}{2}) = z_{0.025}^*$
  • $+1.96 = \Phi_Z^{-1}(1 - \frac{\alpha}{2}) = z_{0.975}^*$
• $\overline x \pm 1.96 \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n}$
• foutenmarge $m = 1.96 \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n} = \dfrac{bg - og}{2}$

Gegeven een normaalverdeelde toevalsvariabele 𝑋 met gekende populatievariantie. Waaraan is het 95% BI voor $\mu_X$ gelijk als je gebruikmaakt van onderstaande gegevens?

• $\overline x = 8.5$
• $\sigma_X = 2$
• $n = 30$

• gegeven
  • $\overline x = 8.5$
  • $\sigma_X = 2$
  • $n = 30$
  • $X \sim N(\ldots, 2^2)$
• gevraagd
  • 95% BI voor $\mu_X$
• oplossing
  • $\overline x \pm 1.96 \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n}$
  • $= 8.5 \pm 1.96 \dfrac{2}{\sqrt{30}}$
  • $= 8.5 \pm 0.7157$
  • $= [7.7843, 9.2157]$

C-intervalschatting voor $\mu_X$

• assumpties
  • $X \sim N(\ldots, \sigma_X^2)$
    • anders: zie vorig hoofdstuk over bepaling verdeling $\overline X$
  • gekende variantie $\sigma_X^2$
• gelijkaardig aan hierboven, behalve ...
• $\alpha = 1 - C$
• kritieke waarden
  • $\Phi_Z^{-1}(\frac{\alpha}{2}) = z_{\frac{\alpha}{2}}^*$
  • $\Phi_Z^{-1}(1 - \frac{\alpha}{2}) = z_{1-\frac{\alpha}{2}}^*$
• $\overline x \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}^* \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n}$
• foutenmarge $m = z_{1-\frac{\alpha}{2}}^* \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n} = \dfrac{bg - og}{2}$
• hogere $C$
  • lagere $\alpha$
  • grotere foutenmarge
  • breder interval
  • meer zekerheid
  • minder nauwkeurig
• lagere $C$
  • hogere $\alpha$
  • lagere foutenmarge
  • smaller interval
  • minder zekerheid
  • meer nauwkeurig

Gegeven een normaal verdeelde toevalsvariabele met gekende populatievariantie. Waaraan is het 99% BI voor $\mu_X$ gelijk als je gebruikmaakt van onderstaande gegevens?

• $\overline x = 8.5$
• $\sigma_X = 3$
• $n = 25$

• gegeven
  • $\overline x = 8.5$
  • $\sigma_X = 3$
  • $n = 25$
  • $X \sim N(\ldots, 3^2)$
• gevraagd
  • 99% BI voor $\mu_X$
• oplossing
  • $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$
  • $z_{1-\frac{\alpha}{2}}^* = z_{0.995}^* = 2.5758$
  • $\overline x \pm 2.5758 \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n}$
  • $= 8.5 \pm 2.5758 \dfrac{3}{\sqrt{25}}$
  • $= 8.5 \pm 1.5455$
  • $= [6.9545, 10.0455]$

Het 99% betrouwbaarheidsinterval zal in vorige oefening ... zijn aan/dan het 90% betrouwbaarheidsinterval

• breder

C-intervalschatting voor andere parameters

• zie formularium

Gegeven een normaal verdeelde variabele met onbekende variantie. Als je gebruikmaakt van onderstaande gegevens, hoeveel bedraagt dan een 80% BI voor $\sigma_X^2$?

• $s_x^2 = 3$
• $n = 30$

• gegeven
  • $X \sim N(?, ?)$
  • $s_x^2 = 3$
  • $n = 30$
• gevraagd
  • 80% BI voor $\sigma_X^2$
• oplossing
  • $\dfrac{nS_X^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2_{df=n-1}$
  • $P\left(\Phi_{\chi^2}^{-1}(0.10) \leq \dfrac{nS_X^2}{\sigma_X^2} \leq \Phi_{\chi^2}^{-1}(0.90)\right) = 0.80$
  • $\iff P\left(19.7677 \leq \dfrac{90}{\sigma_X^2} \leq 39.0875\right) = 0.80$
  • $\iff P(2.3025 \leq \sigma_X^2 \leq 4.5529) = 0.80$

4 Hypothesetoetsing

• nulhypothes $H_0$
• alternatieve hypothese $H_1$
  • eenzijdig ($<, \leq, \geq, >$)
  • tweezijdig ($\neq$)
• soorten toetsen
  • Z-toets (dit hoofdstuk)
    • parameter: $\mu_X$
    • $\sigma_X^2$ bekend
    • drie manieren
      • via kritieke waarden
      • via p-waarde
      • via BI
  • t-toets (zie HC 6)
    • parameter: $\mu_X$
    • $\sigma_X^2$ onbekend
  • andere grootheden (zie HC 7)
  • $\chi^2$ toets voor goodness of fit (zie HC 10)

Na het tweede zitexamen berekent een docent de verschilscores tussen de behaalde score in januari (J) en de behaalde score in september (S). Hij wil nagaan of studenten in september gemiddeld hoger scoren dan in januari. Formuleer de achterliggende $H_1$.

• $H_0: \mu_{S-J} = 0$
• $H_1: \mu_{S-J} > 0$

Tweezijdige toetsen via kritieke waarden

• stap 1: bepaal $H_0$ en $H_1$
• stap 2: bepaal $n$ en significantieniveau $\alpha$
  • $\alpha$ groter: sneller $H_0$ verwerpen
  • $\alpha$ kleiner: sneller $H_0$ aanvaarden
• stap 3: kies geschikte toetsstatistiek (TS) en bijhorende steekproevenverdeling onder $H_0$
• stap 4: bereken toetsstatistiekwaarde (ts) onder $H_0$
• stap 5: welke ts waarden zijn verdacht (doen vermoeden dat $H_1$ waar is)?
• stap 6: bereken kritieke waarden
  • bepalen aanvaardings- en verwerpingsgebied
  • tweezijdige $H_1$: $z_{\frac{\alpha}{2}}^*$ en $z_{1 - \frac{\alpha}{2}}^*$
  • beslissing
    • $ts$ in aanvaardingsgebied: aanvaard $H_0$ op significantieniveau $\alpha$
    • $ts$ in verwerpingsgebied: verwerp $H_0$ op significantieniveau $\alpha$
      • synoniem: kritiek gebied

Een onderzoeker beschikt over normaalverdeelde gegevens en wil de volgende hypothese toetsen met $\alpha = 0.01$ en $\sigma_X = 16$: $H_0: \mu_X = 50$ vs. $H_1: \mu_X \neq 50$. Om de hypothese te toetsen trekt de onderzoeker een steekproef van 64 personen; het steekproefgemiddelde in deze steekproef bedraagt 44. Welke beslissing neem je? Voer de hypothesetoets uit m.b.v. kritieke waarden.

• gegeven
  • $\alpha = 0.01$
  • $\sigma_X = 16$
  • $n = 64$
  • $\overline x = 44$
• gevraagd
  • hypothesetoetsing m.b.v. kritieke waarden
• oplossing
  • stap 1
    • $H_0: \mu_X = 50$
    • $H_1: \mu_X \neq 50$ (tweezijdig)
  • stap 2
    • $n = 64$
    • $\alpha = 0.01$
  • stap 3
    • $TS = \dfrac{\overline X - \mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt n}} \sim N(0, 1)$
  • stap 4
    • $ts = \dfrac{44 - 50}{16 / \sqrt{64}} = -3$
  • stap 5
    • $ts$ sterk verschillend van nul is verdacht, dus beide staarten
  • stap 6
    • $z_{\frac{\alpha}{2}}^* = -2.5758$
    • $z_{1 - \frac{\alpha}{2}}^* = 2.5758$
    • $ts = -3$ valt buiten dit bereik (in verwerpingsgebied)
    • dus verwerp $H_0$ op significantieniveau $0.01$

Tweezijdige toetsen via $p$-waarde

• stap 1-5: idem
• stap 6
  • p-waarde = overschrijdingskans: kans om - onder $H_0$ - een minstens even verdachte $ts$ waarde te observeren
    • tweezijdige $H_1$: tweemaal de kans op de kleinste staart
    • kleinste staart links: $p = 2P(TS \leq ts)$
    • kleinste staart rechts: $p = 2P(TS \geq ts)$
    • bij symmetrische verdelingen: $p = 2P(TS \leq - |ts|)$
  • beslissing
    • als $p \leq \alpha$
      • behoorlijk verdacht om een waarde als $ts$ tegen te komen als $H_0$ waar is
      • maar onze steekproef leverde wel die $ts$ op
      • dus initiele assumptie ($H_0$) is waarschijnlijk fout
      • verwerp $H_0$ op significantieniveau $\alpha$
    • als $p > \alpha$
      • niet erg verdacht om een waarde als $ts$ tegen te komen als $H_0$ waar is
      • aanvaard $H_0$ op significantieniveau $\alpha$
• voordeel t.o.v. kritieke waarden
  • p-waarde is onafhankelijk van $\alpha$
  • gemakkelijker om test te herhalen voor verschillende $\alpha$ waarden

Een onderzoeker beschikt over normaalverdeelde gegevens en wil de volgende hypothese toetsen met $\alpha = 0.01$ en $\sigma_X = 16$: $H_0: \mu_X = 50$ vs. $H_1: \mu_X \neq 50$. Om de hypothese te toetsen trekt de onderzoeker een steekproef van 64 personen; het steekproefgemiddelde in deze steekproef bedraagt 44. Welke beslissing neem je? Voer de hypothesetoets uit o.b.v. de p-waarde.

• gegeven
  • $\alpha = 0.01$
  • $\sigma_X = 16$
  • $n = 64$
  • $\overline x = 44$
• gevraagd
  • hypothesetoetsing o.b.v. p-waarde
• oplossing
  • stap 1
    • $H_0: \mu_X = 50$
    • $H_1: \mu_X \neq 50$ (tweezijdig)
  • stap 2
    • $n = 64$
    • $\alpha = 0.01$
  • stap 3
    • $TS = \dfrac{\overline X - \mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt n}} \sim N(0, 1)$
  • stap 4
    • $ts = \dfrac{44 - 50}{16 / \sqrt{64}} = -3$
  • stap 5
    • $ts$ sterk verschillend van nul is verdacht, dus beide staarten
  • stap 6
    • $p = 2P(TS \leq -3) \in [0.002, 0.004]$
    • $p \leq \alpha$
    • dus verwerp $H_0$ op significantieniveau $0.01$

Tweezijdige toetsen via betrouwbaarheidsinterval (BI)

• $H_0: \mu_X = \mu_0$
• $H_1: \mu_X \neq \mu_0$
• bereken $(1-\alpha)$ BI voor $\mu_X$
• beslissing
  • $\mu_0 \in BI$: aanvaard $H_0$
  • $\mu_0 \not\in BI$: verwerp $H_0$
• werkt enkel voor tweezijdige testen

Een onderzoeker beschikt over normaalverdeelde gegevens en wil de volgende hypothese toetsen met $\alpha = 0.01$ en $\sigma_X = 16$: $H_0: \mu_X = 50$ vs. $H_1: \mu_X \neq 50$. Om de hypothese te toetsen trekt de onderzoeker een steekproef van 64 personen; het steekproefgemiddelde in deze steekproef bedraagt 44. Welke beslissing neem je? Voer de hypothesetoets uit m.b.v. een betrouwbaarheidsinterval.

• gegeven
  • $\alpha = 0.01$
  • $\sigma_X = 16$
  • $n = 64$
  • $\overline x = 44$
• gevraagd
  • hypothesetoetsing m.b.v. BI
• oplossing
  • opstellen BI
    • $z_{1-\frac{\alpha}{2}}^* = z_{0.995}^* = 2.5758$
    • $\overline x \pm 2.5758 \dfrac{\sigma_X}{\sqrt n}$
    • $= 44 \pm 2.5758 \dfrac{16}{\sqrt{64}}$
    • $= 44 \pm 5.1516$
    • $= [38.8484, 49.1516]$
  • beslissing
    • $50 \not\in BI$
    • verwerp $H_0$ op significantieniveau $0.01$

Eenzijdige toetsen

• stap 5
  • welke staart verdacht?
    • $H_1: \mu_X > \mu_0$
      • rechterstaart
    • $H_1: \mu_X < \mu_0$
      • linkerstaart
• stap 6
  • o.b.v. kritieke waarde
    • linkerstaart: $z_{\alpha}^*$
    • rechterstaart: $z_{1-\alpha}^*$
  • o.b.v. p-waarde
    • linkerstaart: $p = P(TS \leq ts)$
    • rechterstaart: $p = P(TS \geq ts)$
  • o.b.v. BI
    • (!) niet mogelijk

Een onderzoeker beschikt over normaalverdeelde gegevens en wil de volgende hypothese toetsen met $\alpha = 0.01$ en $\sigma_X = 16$: $H_0: \mu_X = 50$ vs. $H_1: \mu_X < 50$. Om de hypothese te toetsen trekt de onderzoeker een steekproef van 64 personen; het steekproefgemiddelde in deze steekproef bedraagt 44.

(a) Waaraan zijn $z^*$ en $ts$ gelijk? Welke conclusie trekt de onderzoeker?

(b) Hoeveel bedraagt de p-waarde? Wat is de conclusie van de onderzoeker?

• gegeven
  • $X \sim N(\ldots, 16^2)$
  • $\alpha = 0.01$
  • $\sigma_X = 16$
  • $n = 64$
  • $\overline x = 44$
• (a) gevraagd
  • $z^*$
  • $ts$
  • conclusie
• (a) oplossing
  • $z_{\alpha}^* = -2.3263$
  • $ts = \dfrac{44 - 50}{16 / \sqrt{64}} = -3$
  • verwerp $H_0$ op significantieniveau 0.01
• (b) gevraagd
  • p-waarde
  • conclusie
• (b) oplossing
  • $p = P(TS \leq -3) \in [0.001, 0.002]$
  • $p \leq \alpha$
  • verwerp $H_0$

5 Power

• soorten fouten
  • type 1 fout: $H_0 \text{ verwerpen} \mid H_0 \text{ waar}$
    • $P(\text{type 1 fout}) = \alpha$
  • type 2 fout: $H_0 \text{ aanvaarden} \mid H_0 \text{ vals}$
    • $P(\text{type 2 fout}) = \beta$
• power = onderscheidingsvermogen (OV) = $1 - \beta = P(H_0 \text{ verwerpen} \mid H_0 \text{ vals})$
• stappenplan
  • (1) hypothesetoetsing uitgaande van $H_0$
    • bepaal verwerpingsgebied
  • (2) bereken kans op verwerping uitgaande van waarheid

(1) Een onderzoeker wil de volgende hypothese toetsen, met $\alpha=0.05$: $H_0: \mu_X = 50$ vs. $H_1: \mu_X \neq 50$. Om de hypothese te toetsen trekt de onderzoeker een steekproef van 64 personen uit een normaalverdeelde populatie met $\sigma_X=16$. Voor welke waarden van het steekproefgemiddelde zal de onderzoeker $H_0$ aanvaarden?

• gegeven
  • $\alpha = 0.05$
  • $\sigma_X = 16$
  • $n = 64$
  • $X \sim N(\ldots, 16^2)$
• gevraagd
  • aanvaardingsgebied
• oplossing
  • o.b.v. kritieke waarden
    • alternatief: a.h.v. 95% BI voor $\mu_X$
  • stap 1
    • $H_0: \mu_X = 50$
    • $H_1: \mu_X \neq 50$ (tweezijdig)
  • stap 2
    • $n = 64$
    • $\alpha = 0.05$
  • stap 3
    • $Z = \dfrac{\overline X - \mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt n}} \sim N(0, 1)$
  • stap 4
  • stap 5
    • $z$ sterk verschillend van nul is verdacht, dus beide staarten
  • stap 6
    • $z_{\frac{\alpha}{2}}^* = -1.96$
    • $z_{1 - \frac{\alpha}{2}}^* = 1.96$
  • aanvaardingsgebied
    • $-1.96 < Z < 1.96$
    • $\iff \mu_X - 1.96\frac{\sigma_X}{\sqrt n} < \overline X < \mu_X + 1.96\frac{\sigma_X}{\sqrt n}$
    • $\iff 50 - 1.96\frac{16}{8} < \overline X < 50 + 1.96\frac{16}{8}$
    • $\iff 46.08 < \overline X < 53.92$

(2) Voortbouwend op de vorige even oefenen, hoeveel bedraagt het onderscheidingsvermogen als in werkelijkheid $\mu_X=44$?

• $H_0$ vals
• OV
  • $= 1 - P(H_0 \text{ aanvaarden} \mid H_0 \text{ vals})$
  • $= 1 - P(46.08 < \overline X < 53.92 \mid H_0 \text{ vals})$
  • $= 1 - P(\frac{46.08-44}{16 / \sqrt{64}} < Z < \frac{53.92 - 44}{16 / \sqrt{64}} \mid H_0 \text{ vals})$
  • $= 1 - P(1.04 < Z < 4.96)$
  • $= 1 - [P(Z < 4.96) - P(Z < 1.04)]$
  • $= 1 - [P(Z < 4.96) - P(Z < 1.04)]$
  • $\approx 1 - [1 - 0.85]$
  • $= 0.85$

Hoe power maximaliseren

• grotere $\alpha$
  • $H_0$ wordt sneller verworpen
• waarheid ligt verder weg van $H_0$, in richting $H_1$
• kleinere $\sigma_X$
• grotere $n$

Power in praktijk

• waarheid niet gekend tijdens experiment
• kies $n$ i.f.v. gewenste power en effectgrootte

6 t-toetsen

Inferentie voor $\mu$

• tot nu toe (z-toets): normaalmodel met gekende $\sigma_X$
  • $Z = \dfrac{\overline X - \mu_X}{\sigma_X / \sqrt n} \sim N(0, 1)$
• nieuw (t-toets): normaalmodel met onbekende $\sigma_X$
  • gebruik schatter $\hat\sigma_X = s'_x$
  • $T = \dfrac{\overline X - \mu_X}{S'_X / \sqrt n} \sim t_{df=n-1}$
  • verder exact zelfde aanpak voor BI en hypothesetoetsing
• student t-verdeling $t_{df}$
  • lijkt op standaardnormale verdeling
    • met iets dikkere staarten
  • $df$: degrees of freedom = vrijheidsgraden
    • $df \to \infty: t_{df} \to N(0, 1)$

Vergelijken van twee verwachtingen

Afhankelijke steekproeven

Onafhankelijke steekproeven

$\sigma_X$ en $\sigma_Y$ bekend

$\sigma_X$ en $\sigma_Y$ volledig onbekend

$\sigma_X = \sigma_Y$ onbekend (homoscedasticiteit)

7 Inferentie met andere grootheden dan $\mu$

8-9 Niet-parametrische statistiek

10 Goodness of fit