Absolute waarde als afstand

Wie de vereiste voorkennis onder de knie heeft, weet wat het effect is van de absolute waarde op een variabele $x \in \mathbb R$:

$$|x| = \begin{cases} x &\mid x \geq 0\\ -x &\mid x < 0 \end{cases}$$

Zo geldt altijd dat $|x| \geq 0$. Hoewel de definitie op zich niet moeilijk is, gooit een slechtgeplaatste absolute waarde in een opgave soms toch roet in het eten bij de uitwerking. In het slechtste geval moet je de twee gevallen ($x \geq 0$ en $x < 0$) apart uitwerken en daarna de oplossingen opnieuw samenvoegen.

Ook bij statistiek komen we absolute waardes tegen. Ze komen vaak voor in volgende vorm:

$$|x - c| \leq d$$

Doorgaans zijn $c \in \mathbb R$ en $d \in \mathbb R^+$ gegeven en moet je op zoek naar mogelijke waarden voor $x$. Deze vorm heeft een intuitieve interpretatie:

De afstand van $x$ tot $c$ moet kleiner dan of gelijk aan $d$ zijn.

Merk op dat er een minteken staat in de formule, maar dat we hier gewoon met $c$ (zonder minteken) werken. Verder kunnen we uitdrukkingen van de vorm $|x + c| \leq d$ omvormen tot $|x - (-c)| \leq d$. Die komen gelukkig minder vaak voor.

Voorbeeld

Stel dat we een vraag met $|x - 2| \leq 5$ tegenkomen. Dus is $c=2$ en $d=5$. In eerste instantie gaan we het ongelijkheidsteken even wegdenken en vervangen door een gelijkheidsteken. Dan krijgen we $|x - 2| = 5$. Welke getallen bevinden zich dan exact op afstand $5$ van $2$? Als we de ondergrens zoeken, komen we uit op $2-5=-3$. Gelijkaardig komen we als bovengrens uit op $2+5=7$.

De vraag was echter niet de afstand gelijk aan $5$, maar kleiner dan $5$. Alle getallen binnen de twee grenzen tellen dus ook mee: $|x-2| \leq 5 \iff -3 \leq x \leq 7 \iff x \in [3, 7]$.

Omgekeerd kunnen we aantonen dat $|x-2| > 5 \iff x \in \mathopen]-\infty, -3\mathclose[ \cup \mathopen]7, +\infty\mathclose[$ Dit is het complement van de vorige oplossingsverzameling. In de context van kansen kan je in plaats daarvan ook het complement van de kans zelf nemen:

$$P(|X-2| > 5)=0.2 \iff P(|X-2| \leq 5)=0.8$$