Binomiale verdeling

vhsven

2022-12-04

Helemaal vooraan de cursus van statistiek 2 worden twee belangrijke statistische modellen geïntroduceerd: het Bernoulli model en het binomiaal model. Hoewel dit strikt gezien dus leerstof voor statistiek 2 is, komt kennis hiervan goed van pas tijdens statistiek 1. De kans is trouwens groot dat je dit in het middelbaar al kort gezien hebt. Hieronder volgt een korte crashcourse.

Bernoulli model

Bij elk statistisch model hoort een (geparametriseerde) verdelingsfunctie. Zo is het Bernoulli model - waarbij we als uitkomst enkel succes ( $k=1$ ) of mislukking ( $k=0$ ) kunnen hebben - volledig gespecifieerd met één enkele parameter: de kans op succes $\vartheta \in [0,1]$ . Als $X$ een Bernoulli verdeling volgt, levert dat volgende kansmassafunctie:

$X \sim \operatorname{Bern}(\vartheta) \iff \pi_X(k) = \begin{cases} \vartheta &\mid k=1\\ 1-\vartheta &\mid k=0 \end{cases}$

Het klassieke voorbeeld dat hierbij hoort is het opwerpen van een munt waarbij we uitkomst "kop" als succes beschouwen. $\vartheta = 0.5$ betekent dan dat de munt eerlijk is. Ander voorbeeld: een twee gooien met een eerlijke dobbelsteen kunnen we beschrijven met een $\operatorname{Bern}(\frac{1}{6})$ model.

Binomiaalmodel

Het binomiaal model bouwt hier op verder door dit toevalsexperiment $n$ keer te herhalen en te voorspellen hoeveel successen $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ we kunnen verwachten. De herhalingen moeten hierbij identiek verdeeld en statistisch onafhankelijk van elkaar zijn. In symbolen: $Y \overset{i.i.d.}{=} \sum_i X_i$ . Zo bekomen we een model met twee parameters: $n \in \mathbb N_0$ en $\vartheta \in [0,1]$ .

Als we willen weten wat de kans is op $k=2$ successen bij $n=3$ pogingen, kunnen we dat wegens onafhankelijkheid als volgt berekenen: $\vartheta^2 (1-\vartheta)$ . In dit scenario moeten we wel rekening houden met het aantal combinaties. We hebben hier onze mislukking achteraan geplaatst (XXO), maar XOX en OXX zijn ook geldige uitkomsten waarbij $k=2$ . De complete formule wordt dan $\binom{3}{2}\vartheta^2 (1-\vartheta)^1$ . Meer algemeen met $n$ en $k$ onbekend krijgen we:

$Y \sim \operatorname{Bin}(n, \vartheta) \iff \pi_Y(k) = \binom{n}{k} \vartheta^k (1-\vartheta)^{n-k}$

Een binomiaal model is dus een uitbreiding van een Bernoulli model. Anders gezegd is een Bernoulli model een speciaal geval van een binomiaal model: $\operatorname{Bern}(\vartheta) = \operatorname{Bin}(1, \vartheta)$ .

Het handige aan werken met modellen is dat ze vaak eenvoudige formules hebben om statistische maten te bepalen. In plaats van bijvoorbeeld het gemiddelde op een generieke manier te bepalen als $\mu_Y = \sum_j y_{j'} \pi_Y(y_{j'})$ kunnen we bij een binomiaalverdeling direct weten dat $\mu_Y = n\vartheta$ . Gelijkaardig hebben we dat $\sigma_Y^2 = n\vartheta(1-\vartheta)$ .

De naam van dit model komt voort uit het Binomium van Newton:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$

Voorbeeld: $(x+y)^2 = \binom{2}{0} x^0 y^2 + \binom{2}{1} x^1 y^1 + \binom{2}{2} x^2 y^0 = y^2 + 2xy + x^2$ .

Als $x=\vartheta$ en $y=1-\vartheta$ krijgen we:

$(\vartheta+1-\vartheta)^n = 1^n = 1 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \vartheta^k (1-\vartheta)^{n-k}$

Zo hebben we ook ineens bewezen dat voor de binomiale verdeling geldt dat $\sum_k \pi_Y(k) = 1$ , zoals het hoort.

Conclusie

Eens je dit gezien hebt, kijk je met een nieuwe bril naar de inhoud van statistiek 1. Een aantal oefeningen in de cursus (vanaf het inductieve luik) en sommige vragen uit de practica zijn een rechtstreekse toepassing van deze concepten. Onthoud dat je op het examen niet zomaar formules als $\mu_X = n\vartheta$ mag toepassen omdat je ze officieel nog niet gezien hebt, maar het biedt wel een goede houvast en een manier om berekeningen te dubbelchecken.

Bernoulli model

Binomiaalmodel

Conclusie

Zie ook