Bivariate kansmassafunctie berekenen uit bivariate cumulatieve kansmassafunctie

De bivariate kansmassafunctie $\pi_{X,Y}(x, y)$ geeft de kans $P(X=x$ en $Y=y)$ weer. De bivariate cumulatieve kansmassafunctie $\Phi_{X,Y}(x,y)$ daarentegen geeft de kans $P(X \leq x$ en $Y \leq y)$ weer. Het is redelijk eenvoudig om $\Phi_{X,Y}(x,y)$ uit $\pi_{X,Y}(x, y)$ te berekenen, maar hoe ga je te werk als je de omgekeerde vraag krijgt?

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Laten we een concreet voorbeeld bekijken met een 3x4 tabel voor de cumulatieve kansmassafunctie $\Phi_{X,Y}(x,y)$. Stel dat we de volgende tabel hebben:

Dit betekent dat bijvoorbeeld $\Phi_{X,Y}(2,3) = P(X \leq 2, Y \leq 3) = 0.5$.

We willen nu de bijbehorende kansmassafunctie $\pi_{X,Y}(x,y)$ berekenen. Begin met de eerste (laagste) rij en de eerste (laagste) kolom aangezien die vrij eenvoudig zijn:

• $\pi_{X,Y}(1, 1) = \Phi_{X,Y}(1,1) = 0.1$
• $\pi_{X,Y}(1, 2) = \Phi_{X,Y}(1,2) - \Phi_{X,Y}(1,1) = 0.2 - 0.1 = 0.1$
• $\pi_{X,Y}(1, 3) = \Phi_{X,Y}(1,3) - \Phi_{X,Y}(1,2) = 0.3 - 0.2 = 0.1$
• $\pi_{X,Y}(1, 4) = \Phi_{X,Y}(1,4) - \Phi_{X,Y}(1,3) = 0.4 - 0.3 = 0.1$
• $\pi_{X,Y}(2, 1) = \Phi_{X,Y}(2,1) - \Phi_{X,Y}(1,1) = 0.2 - 0.1 = 0.1$
• $\pi_{X,Y}(3, 1) = \Phi_{X,Y}(3,1) - \Phi_{X,Y}(2,1) = 0.3 - 0.2 = 0.1$

Voor alle duidelijkheid: als $X=3$ in de eerste rij stond, zouden we nog steeds met de $X=1$ rij beginnen aangezien cumulatieve berekeningen altijd van kleine naar grote waarden gebeuren.

Met deze nieuwe gegevens kunnen we gemakkelijk $\pi_{X,Y}(2,2)$ berekenen. $\pi_{X,Y}(1,1) + \pi_{X,Y}(1,2) + \pi_{X,Y}(2,1) = 0.3$, dus moet $\pi_{X,Y}(2,2)=0.1$ om samen $\Phi_{X,Y}(2,2) = 0.4$ uit te komen.

In plaats van enkel naar $\pi_{X,Y}$ te kijken kunnen we ook info uit $\pi_{X,Y}$ en $\Phi_{X,Y}$ combineren om onszelf wat rekenwerk te besparen: $\pi_{X,Y}(2,3) = \Phi_{X,Y}(2,3) - \Phi_{X,Y}(2,2) - \pi_{X,Y}(1,3) = 0.5 - 0.4 - 0.1 = 0$

De rest van de tabel kunnen we op een gelijkaardige manier aanvullen:

Dubbelcheck op het einde dat $\sum_j \sum_{j'} \pi_{X,Y}(x_j, y_{j'}) = 1$.

Als je niet heel de tabel moet berekenen, maar enkel één specifieke waarde nodig hebt, kan volgende formule nuttig zijn:

$$\pi_{X,Y}(x, y) = \Phi_{X,Y}(x, y) - \Phi_{X,Y}(x-1, y) - \Phi_{X,Y}(x, y-1) + \Phi_{X,Y}(x-1, y-1)$$