Dichtheden

Studenten hebben het vaak moeilijk met het onderscheid tussen de begrippen kans en kansdichtheid. Op het eerste zicht is het verschil tussen een kansmassafuncie $\pi_X(x)$ en een dichtheidsfunctie $\varphi_X(x)$ niet zo groot. Je gebruikt ze om de verdeling van respectievelijk discrete en continue toevalsvariabelen in kaart te brengen.

Een worp met een eerlijke dobbelsteen is een klassiek voorbeeld van een discreet toevalsexperiment. De kans om $1$ te werpen is bijvoorbeeld $P(X = 1) = \pi_X(1) = \frac{1}{6}$. Uit kansmassafuncties komen dus gewoon kansen.

$IQ$ heeft dan weer een continue (normale) verdeling met gemiddelde $\mu_{IQ} = 100$ en standaardafwijking $\sigma_{IQ} = 15$. In tegenstelling tot een kansmassafunctie, kan je de bijhorende waarde voor een $IQ$ van $100$, nl. $\varphi_{IQ}(100) \approx 0.0266$ helemaal niet rechtstreeks interpreteren. De kans op een IQ van $100$ is dus niet $2.66\%$. Sterker nog, $P(IQ = 100) = 0$, net zoals de kans op eender welke andere mogelijke waarde voor $IQ$. De intuitie hierachter is dat niemand een IQ heeft dat exact gelijk is aan $100.000000000\ldots$, maar toch minstens een tikkeltje daarvan afwijkt. Dat is het hele concept van kansdichtheden, je kan enkel iets zinvol zeggen over de kans op waarden binnen een interval, maar niet over één enkele waarde. In het wiskundig vakjargon spreken we dan van een distributie of veralgemeende functie. Zo komen we bij de formule

$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \varphi(x)\,dx$$

Een ander punt waarop kansdichtheden verschillen van kansen is dat ze niet noodzakelijk in het interval $[0, 1]$ moeten liggen, ze moeten enkel groter dan of gelijk aan nul zijn. Stel dat de systolische bloeddruk van een patient tussen $120 \pu{mmHg}$ en $140 \pu{mmHg}$ ligt en dat alle waarden daarbinnen even waarschijnlijk zijn. Dan krijg je een uniforme kansdichtheid van

$$\varphi_X(x) = \frac{1}{140-120} = 0.05$$

Je zou dus intuitief kunnen zeggen dat er een kans van $0.05$ per millimeter kwik is. Voor een interval van $10\pu{mmHg}$ breed (bijvoorbeeld $[120, 130]$ of $[123, 133]$) is de kans dan $10 \cdot 0.05 = 0.5$. Tot zover zitten al onze kansen en kansdichtheden nog mooi binnen $[0, 1]$. Als normale mensen (lees: geen dokters) meten wij druk natuurlijk niet in millimeter kwik maar in bar met $750\pu{mmHg} \approx 1\pu{bar}$. Dan liggen onze waarden tussen $[\frac{120}{750}, \frac{140}{750}]$ en is

$$\varphi_X(x) = \frac{1}{\frac{140}{750} - \frac{120}{750}} = \frac{750}{20} = 37.5 > 1$$

Zo krijgen we bij wijze van spreken een kans van $37.5$ per bar. Als we dat opnieuw vermenigvuldigen met $10\pu{mmHg} = \frac{10}{750}\pu{bar}$ krijgen we $37.5 \cdot \frac{10}{750} = 0.5$. De eigenlijke kans is exact hetzelfde gebleven, of we de oefening nu in millimeter kwik of in bar maken. Kansen blijven dus steeds in $[0, 1]$, maar kansdichtheden kunnen afhankelijk van de verdeling en de schaal ook groter dan $1$ worden.

Dit klinkt waarschijnlijk allemaal heel nieuw en ongebruikelijk. Nochtans heeft bijna iedereen al wel iets gelijkaardig gezien in het secundair onderwijs. Er is namelijk een analoog concept dat ook eindigt op dichtheid: massadichtheid $\rho$ uit de fysicalessen. Een massadichtheid en een massa is ook niet hetzelfde. Water heeft een massadichtheid van $\rho \approx 1000\pu{kg/m3}$. Dat wil uiteraard niet zeggen dat elke hoeveelheid water $1000\pu{kg}$ weegt. Je moet het altijd in de context van een bepaald volume bekijken. Voor een massadichtheid die niet verandert doorheen het volume (dus $\rho(x,y,z) = \rho$, vergelijkbaar met onze uniforme kansdichtheid van hierboven) is de formule dan heel simpel:

$$\rho = \frac{m}{V} \iff m = \rho V$$

Als de massadichtheid wel verandert in functie van de positie in het volume, heb je een iets complexere formule nodig die conceptueel wel exact hetzelfde uitdrukt:

$$m = \iiint \rho(x, y, z)\,dxdydz$$

waarbij $V = \iiint dxdydz$. Die formule heeft exact dezelfde vorm als diegene die je nodig hebt om een kans met drie variabelen uit te rekenen:

$$P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d, e \leq Z \leq f) = \int_e^f \int_c^d \int_a^b \varphi_{X,Y,Z}(x, y, z)\,dxdydz$$

Zoals gewoonlijk is het stiekem allemaal één pot nat.