Formule vergeten?

Door de stress op het examen gebeurt het wel eens dat je begint te twijfelen over een bepaalde formule. Was het bijvoorbeeld $\log(x + y) = \log x \cdot \log y$ of toch $\log(x \cdot y) = \log x + \log y$? Als je een beetje intuitie hebt voor logaritmes zie je waarschijnlijk direct welke optie juist is. Maar zelfs als je dat inzicht mist, is het geen verloren zaak. Probeer gewoon beide formules kort uit met eenvoudige cijfers.

Als we de eerste regel volgen, krijgen we voor $y=0$

$$\log(x + 0) = \log x = \log x \cdot \log 0$$

Dit kan kloppen indien $\log 0 = 1$. Als je $\log 0$ uitrekent met je rekentoestel krijg je echter een foutmelding. Dat ziet er dus niet goed uit. De tweede formule ziet er daardoor al een pak meer waarschijnlijk uit. Als we die testen met $y=1$ krijgen we

$$\log(x \cdot 1) = \log x = \log x + \log 1$$

We vinden dat $\log 1 = 0$ (want $10^0=1$), dus dat klopt helemaal.

Deze manier van werken geeft natuurlijk geen sluitend bewijs dat de formules correct zijn, maar dat hoeft in deze situatie ook niet. Als je enkel twijfelt tussen twee opties, kan je zo gemakkelijk de juiste keuze maken.

Dit voorbeeld ging over logaritmes, maar de techniek is natuurlijk veel breder toepasbaar wanneer je twijfelt tussen twee of meer versies van een formule. Een andere klassieker is de chiastische eigenschap waarbij je twijfelt tussen $\sigma_X^2 = E[X^2] - E[X]^2$ en $\sigma_X^2 = E[X]^2 - E[X^2]$. Van zodra je iets kan bewijzen uit een formule dat duidelijk scheef zit (in dit geval: als de variantie negatief is), weet je dan de formule waar je van vertrok ook incorrect is.