Trapezium

Op het examen ga je waarschijnlijk voor één van de vragen de oppervlakte onder een curve $\varphi_X$ moeten berekenen. Wie niet graag met integralen goochelt, geraakt er meestal ook wel door die oppervlakte op te kappen in rechthoeken, driehoeken en - af en toe - trapezia. Iedereen heeft in het lager onderwijs wel uitgebreid over die vlakke figuren geleerd, maar in het secundair komen trapezia niet vaak meer terug. Bij deze dus een korte opfrisser.

Een trapezium is een convexe vierhoek met minstens 1 paar evenwijdige zijden. De kortste van die twee noemen we de kleine basis $b$ en de andere noemen we de grote basis $B$. Daarnaast hebben we nog de hoogte $h$ die we loodrecht op beide basissen meten. Waarschijnlijk denk je in de eerste plaats aan de gele figuur hieronder, maar de twee andere figuren zijn evengoed trapezia.

Op basis van deze definitie is elke parallellogram (incl. elke rechhoek en elke ruit) ook een trapezium.

Oppervlakte

Je kan elke trapezium opdelen in een rechthoek en eventueel een rechthoekige driehoek per zijkant. Je hoeft dus niet per se de formule voor de oppervlakte van een trapezium vanbuiten te leren, want je kan gewoon de som van de oppervlaktes van die rechthoek en driehoek(en) berekenen. Anderzijds is de formule ook niet zo moeilijk, en alles wat tijd kan besparen op het examen is meer dan welkom.

De oppervlakte van een trapezium is $\frac{(B+b)h}{2}$. Nu weten we wat we moeten weten, dus zouden we hier kunnen afsluiten. Of... we kunnen nog wat dieper graven. We hebben bijvoorbeeld gezegd dat elke rechthoek ook een trapezium is. De oppervlakte formules voor beide zouden dus consistent moeten zijn. Anders gezegd:

$$\dfrac{(B+b)h}{2} = b_r h_r$$

met $b_r$ de basis en $h_r$ de hoogte van de rechthoek. De hoogte van beide meten we op dezelfde manier ($h = h_r$) dus kunnen we vereenvoudigen tot

$$\dfrac{(B+b)}{2} = b_r$$

Voor een rechthoek geldt $B = b = b_r$, dus de formules zijn inderdaad mooi consistent. Wat nog interessanter is, is dat we nu een nieuwe manier hebben om de term $\frac{(B+b)}{2}$ te interpreteren. Als we onze statistische bril opzetten, zien we dat hier een gemiddelde berekend wordt. Je zou de formule voor de oppervlakte van een trapezium dus ook kunnen lezen als $\overline{b}h$ met $\overline b$ het gemiddelde van de grote en de kleine basis. Nu is het direct overduidelijk dat de formule consistent is met die van een rechthoek, want in dat geval is $\overline b = b = B = b_r$.

Volume

Als de prof een stapje verder wil gaan, kan hij dezelfde soort vraagen stellen maar dan voor een bivariate verdeling $\varphi_{X,Y}$. Dan krijg je een 3D grafiek en moet je volumes berekenen in plaats van oppervlaktes. Meestal kan je hier de vuisregel oppervlakte grondvlak maal hoogte $h'$ toepassen. Voor een 3D trapezium (een soort prisma) krijg je dan $\overline{b}hh'$. Verwar deze nieuwe hoogte $h'$ niet met de originele hoogte $h$ in 2D. Je zou $h'$ ook de diepte $d$ kunnen noemen als dat het duidelijker maakt.