Variantie en i.i.d.

Wie het laatste hoofdstuk van deel 1 bestudeerd heeft, weet ondertussen waar i.i.d. voor staat: independent and identically distributed. Als $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn, geldt dat:

• $\pi_{X,Y}(x,y) = \pi_X(x) \pi_Y(y)$
• $\varphi_{X,Y}(x,y) = \varphi_X(x) \varphi_Y(y)$

Als ze identiek verdeeld zijn, weten we dat hun verdelingsfuncties (kansmassafunctie of dichtheidsfunctie) exact hetzelfde zijn, en dat het dus weinig zin heeft om nog een subscript te gebruiken:

• $\pi_X = \pi_Y = \pi$
• $\varphi_X = \varphi_Y = \varphi$

Hoe kunnen we dat nu toepassen op varianties? Stel dat we $\sigma_{aX+bY+c}^2$ willen berekenen waarbij $X$ en $Y$ i.i.d. zijn. Dan beginnen we zoals altijd met de rekenregels van somvariabelen toe te passen:

• $\sigma_{aX+bY+c}^2 = a^2 \sigma_X^2 + b^2 \sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{XY}$

Normaal moeten we hier stoppen, maar met het extra gegeven van i.i.d. kunnen we nog verder gaan. Uit onafhankelijkheid volgt dat $\rho_{XY} = 0$, en dus ook dat $\sigma_{XY} = 0$:

• $\sigma_{aX+bY+c}^2 = a^2 \sigma_X^2 + b^2 \sigma_Y^2$

We zijn er nu bijna, maar nog niet helemaal. We hebben al iets met de eerste i gedaan, maar nog niet met de tweede. Als $X$ en $Y$ identiek verdeeld zijn, zijn ook al hun statistische maten gelijk. Dus $\mu_X = \mu_Y$ en $\sigma_X = \sigma_Y$. Zo komen we finaal tot:

• $\sigma_{aX+bY+c}^2 = (a^2+b^2) \sigma_X^2$

We kunnen dit ook uitbreiden naar $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. Dan krijgen we:

• $\sigma_{\sum_i a_i X_i}^2 = \sum_i a_i^2 \sigma_{X_i}^2 = (\sum_i a_i^2) \sigma_{X_1}^2$

Als $a_1 = \ldots = a_n = 1$ krijgen we tot slot:

• $\sigma_{\sum_i X_i}^2 = \sum_i \sigma_{X_i}^2 = n \sigma_{X_1}^2$