Wiskundige vaardigheden

Het wordt nooit met zoveel woorden gezegd, maar het didactisch team verwacht dat je tegen het examen een aantal wiskundige vaardigheden in de vingers hebt om de leerstof grondig te verwerken en oefeningen tot een goed einde te brengen. Hieronder bespreken we er enkele.

Zelfstandig onderzoek

Het leuke aan wiskunde is dat het allemaal logisch in elkaar zit. Alles heeft een reden, en met wat clever detectivewerk kan je die reden vaak zelf ontdekken. Bij veel andere vakken (bv. taalvakken) zou dat nooit lukken: als je de vertaling van een woord nooit geleerd hebt, kan je die vertaling ook niet magisch uit een hoge hoed toveren. Bij wiskunde kan dat wel. Je kan in extremis zelfs op het examen nog nieuwe aha-momentjes hebben.

Wanneer wordt gezegd dat je actief met de leerstof bezig moet zijn, gaat het vaak hier over. Er wordt verwacht dat je zelf als detective door de cursus gaat en alle mysteries uitpluist. Je moet jezelf dus in de eerste plaats de juiste vragen leren stellen over de leerstof, en die vragen vervolgens ook zelf proberen op te lossen. De generieke hoe, wie, wat, waar en vooral waarom vragen zijn altijd een goed startpunt. Je kan ook zelf proberen eigenschappen te bewijzen (of te ontkrachten).

Wonder is the seed of knowledge - Francis Bacon (1605)

Counterfactual thinking

Om bijvoorbeeld te weten waarom een regel nodig is, helpt het vaak om aan counterfactual thinking te doen. Hierbij ga je er hypothetisch van uit dat de regel niet opgaat. Redeneer dan verder tot je merkt dat je tot een ongeldige conclusie komt. Als alle tussenstappen correct waren, is het enige mogelijke besluit dat jouw eerste assumptie ("de regel is ongeldig") fout was en dat de regel effectief geldig is.

Voorbeeld: een functie $f: A \to B: x \mapsto f(x)$ is per definitie een relatie waarbij elk element uit het domein $A$ overeenkomt met hooguit één element uit het bereik $B$. Wat als we die regel zouden breken en toch meer elementen in het bereik zouden toelaten? Stel dat we volgende relatie tussen $x$ en $y$ willen omzetten in een functie $y = f(x)$:

$x$	$y$
$1$	$1$
$1$	$2$
$2$	$3$

Dan moeten we op zoek naar een functievoorscrift $f(x)$ waarvoor o.a. geldt dat $f(1) = 1$ maar ook $f(1) = 2$. Dit is duidelijk een contradictie. De notatie $y = f(x)$ dwingt ons om maximum één $y$ waarde aan een gegeven $x$ waarde te koppelen. We kunnen dus niet anders dan die regel opnemen in de definitie van een functie.

Wie hier niet zo diep over nagedacht heeft, twijfels wel eens of de beperking van maximum één element geldt voor het domein of het bereik. Eens je bovenstaande gedachtegang doorlopen hebt, begrijp je beter waar de voorwaarde vandaan komt en zal je in de toekomst minder twijfelen.

Dissecties

De blogpost over dissectie van formules is ook een mooi voorbeeld van zelfstandig onderzoek.

Interpretaties van formules

Veel wiskunde formules kan je op drie manieren interpreteren: algebraisch, logisch en grafisch/visueel. Onder algebraisch verstaan we het mechanische werk: rekenregeltjes toepassen op de formule en die zo stap per stap omvormen. Voorbeeld: $(a + b)^2 = (a+b)(a+b) = aa + ab + ba + bb = a^2 + 2ab + b^2$. Dat is een nuttige vaardigheid om in de vingers te hebben, maar daarmee alleen kom je er niet. Computers kunnen dat trouwens veel sneller dan wij. Wat ons als mens uniek maakt is dat we kunnen begrijpen wat er achter de symbolen schuil gaat: het logische aspect. Wat hebben we nu eigenlijk aangetoond door bovenstaande formule uit te werken? Het helpt daarbij vaak om de formule grafisch te interpreteren. Waarom is de formule voor de oppervlakte van een parallellogram gelijk aan die van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte? Waarschijnlijk heb je in de basisschool geleerd dat je langs één kant van een parallellogram een driehoek kan afkappen, en die er langs de andere kant terug kan aanplakken om tot een rechthoek met dezelfde oppervlakte te komen. Dat soort inzicht moet je proberen te vinden voor alle formules. Probeer het eens met de formule hierboven. Tip: $(a + b)^2$ kan je zien als de oppervlakte van een vierkant met zijde $a + b$. (oplossing)

Verbanden leggen

Nieuwe concepten zijn gemakkelijker te begrijpen en te onthouden als je ze kan linken aan iets dat je al kent. Bij verzamelingen heb je bijvoorbeeld een hele hoop eigenschappen zoals $A \cup B = B \cup A$. Dat zou je kunnen doen denken aan het concept van commutativiteit van de optelling: $a + b = b + a$. Kan je zo nog verbanden vinden, bijvoorbeeld rond associativiteit of distributiviteit?

Je moet de verbanden niet enkel zoeken tussen je voorkennis en de cursus, maar ook binnen de cursus zelf. Wie goed oplet, zal merken dat veel formules eigenlijk duplicaten of licht vervormde versies zijn van andere formules die al eerder aan bod kwamen. In de eerste plaats heb je de symmetrie tussen het luik beschrijvende statistiek en het luik inductieve statistiek. Voorbeeld: $\overline x = \sum_j x_j p_X(x_j)$ en $\mu_X = \sum_j x_j \pi_X(x_j)$. De tweede formule krijg je dus bijna gratis bij de eerste.

Bij somvariabelen heb je dan weer formules die van specifiek naar algemeen gaan. Als je de algemene formules kent, hoef je de specifieke formules niet meer te leren. Meer details hier.

Laatste voorbeeld: er zijn drie manieren om het steekproefgemiddelde te berekenen. Formules waar het gemiddelde in voorkomt hebben daardoor vaak drie versies. Als je de drie manieren kent om het gemiddelde te berekenen, moet je verder nog maar één versie van de afgeleide formules onthouden. De variantie is dan bijvoorbeeld $\overline{(x - \overline x)^2}$, waarbij we in het midden laten hoe je die gemiddeldes gaat uitrekenen. Deze post gaat daar dieper op in.

Voorbeelden of tegenvoorbeelden bedenken

Spreekt voor zich, al is het soms gemakkelijker gezegd dan gedaan.

Oriënteren

Waar tijdens practica alle oefeningen bij één specifiek onderwerp horen, ga je die luxe niet hebben op het examen. Daar wordt alles door elkaar gevraagd. Jezelf kunnen oriënteren is dan van groot belang om de juiste oplossingsstrategie te kiezen. Stel jezelf bij elke oefening volgende vragen:

• beschrijvende of inductieve statistiek?
• univariaat, bivariaat of multivariaat?
• discreet of continu?

Als er symbolen gegeven zijn, kan je daar vaak al veel uit afleiden. Een kleine $p$ (proportie) vind je bij beschrijvende statistiek, terwijl je de grote $P$ (probability) eerder bij kansrekenen en inductieve statistiek terugvindt. Frequenties en steekproefgroottes horen ook steeds thuis in deel 1, terwijl Griekse letters bijna exclusief in deel 2 terug te vinden zijn.

Oefen doorheen het semester al op het oplossen van verschillende types oefeningen door elkaar. Maak bijvoorbeeld een kopie van je practicumbundel en knip die in stukken zodat je een verzameling losse oefeningen krijgt. Schud ze goed door elkaar en trek er telkens willekeurig een oefening uit.

Bewijzen

Stellingen of eigenschappen bewijzen is een aparte vaardigheid. Hier kom je er meer over te weten.

Vraagstukken interpreteren

Bij statistiek worden veel vragen als vraagstuk gegeven. Het is dan aan jou om de tekst te vertalen naar wiskundige symbolen en formules zodat je er mee aan de slag kan. In deze blogpost leer je hoe je daar beter in kan worden.

Vereenvoudigen

Zit je vast bij een oefening die te moeilijk is? Geef dan niet op, maar probeer een variant te verzinnen op de originele oefening die net iets eenvoudiger is. Probeer die vervolgens op te lossen. Als dat lukt, geeft het werk dat je net gedaan hebt je misschien een nieuw inzicht dat je kan gebruiken om de originele oefening op te lossen.

Concretiseren

Is een oefening eerder theoretisch en weet je niet goed hoe je er aan moet beginnen? Kies dan zelf een paar concrete waarden voor onbekende variabelen en ga daar mee aan de slag. Kies daarbij voor getallen waar je gemakkelijk mee kan rekenen. $100$ en $1000$ zijn goede keuzes als er procenten aan te pas komen. Anders zijn kleine cijfers waarschijnlijk beter geschikt. Als dat lukt, kan je in een tweede poging de oefening meer algemeen proberen op te lossen.

Voorbeeld: als $a \leq b$, wat zegt dan dan over $\frac{1}{a}$ t.o.v. $\frac{1}{b}$? Dat is moeilijk te zeggen zo, dus proberen we eens met $a=1$ en $b=2$. Dan is $1 \leq 2$ maar $\frac{1}{1} \geq \frac{1}{2}$. Probeer met nog enkele andere waarden voor $a$ en $b$ om zeker te zijn dat deze conclusie algemeen opgaat. Geldt dit bijvoorbeeld ook voor twee negatieve getallen of voor een combinatie van een positief en een negatief getal?

Als concrete getallen nog steeds te theoretisch aanvoelen, kan je proberen de oefening echt hands-on aan te pakken. Gaat het bijvoorbeeld over dobbelstenen, zoek dan naar een paar echte dobbelstenen om mee te experimenteren. Idem voor oefeningen rond een boek kaarten of een bokaal met gekleurde snoepjes.

Visualiseren

Mensen zijn van nature erg visueel ingesteld. Probeer dan ook steeds een manier te vinden om een concept of oefening visueel voor te stellen. Maak een schets, teken een grafiek, gebruik een Venn diagram, ...

Voorbeeld: om de vraag rond $a \leq b$ van hierboven dieper te bestuderen, zouden we kunnen proberen de transformatie $f(x) = \frac{1}{x}$ in kaart te brengen. Kan je de vorm van de grafiek van deze functie linken aan onze conclusie hierboven?

Lees zeker ook de blogpost rond kansbomen.

Trial and error

Willekeurig dingen proberen klinkt misschien niet als de meest wiskundige aanpak, maar soms werkt het wel. Eens je een mogelijke oplossing hebt gevonden voor een probleem, geeft die oplossing je misschien een beter zicht op hoe je de vraag op een betere manier kan oplossen.

Verdeel en heers

Soms is de vraag die je moet beantwoorden te complex om direct aan te beginnen. Dat is een goed moment om het verdeel en heers principe toe te passen. Probeer het probleem op te splitsen in kleine deelproblemen en die apart op te lossen. Soms moet je die deelproblemen opnieuw opsplitsen en dat proces blijven herhalen tot je iets behapbaar krijgt. Pas op het einde breng je alles terug samen.

Heb je bijvoorbeeld een oefening rond kansrekenen, dan is het vaak nuttig om eerst de kans te berekenen voor een heel specifieke gebeurtenis. Daarna kan je het resultaat stelselmatig veralgemenen door o.a. het aantal permutaties mee in rekening te brengen.

Ander voorbeeld: je kan een kwantiel niet rechtstreeks berekenen uit ruwe gegevens. Je moet eerst een frequentietabel opstellen voor die gegevens, vervolgens de frequenties $freq$ omzetten in cumulatieve frequenties $cfreq$ en die daarna omzetten in cumulatieve proporties $F$. Op basis van die laatste kan je wel een kwantiel $x_r$ berekenen. Elk van die individuele stappen is vrij eenvoudig, maar je moet ze combineren om tot het resultaat te komen. Gaandeweg ga je complexere oefeningen tegenkomen waar je meer en meer stappen moet doorlopen om tot een oplossing te komen, maar de basisvaardigheden blijven hetzelfde.

Rekenmachine maximaal benutten

Vlot werken met je rekenmachine is een vaardigheid die je moet trainen tot je dit snel en bijna blindelings kan. Niet enkel het zuivere rekenwerk, maar ook werken met variabelen, data, stat en table. Neem de gebruiksaanwijzing grondig door zodat je weet wat wel en niet mogelijk is.

Reconstructies maken

Reconstructies bevatten een goudmijn aan informatie, ook al zijn ze niet altijd even zorgvuldig samengesteld. Probeer zelf uit de reconstructies van vorige jaren oefeningen te destilleren en vervolgens op te lossen. Blijf steeds kritisch, want het antwoord met de meeste stemmen is niet noodzakelijk het correcte antwoord. Soms heb je ook te weinig gegevens of is de vraag te slordig geformuleerd om bruikbaar te zijn. Dat is niet erg, er zijn er genoeg andere waar je wel mee aan de slag kan.

Resultaat dubbelchecken

Er zijn proffen die enkel kijken naar de uitkomst en zich niets aantrekken van de manier waarop je aan die uitkomst geraakt bent. Er zijn ook proffen die het vooral belangrijk vinden dat je het proces in de vingers hebt, maar het minder erg vinden als je onderweg een rekenfoutje maakt. Helaas is het bij prof. Van Mechelen een én-én verhaal want beide aspecten zijn erg belangrijk voor hem.

Aangezien rekenfouten punten kosten, is het sterk aangeraden om je berekeningen te dubbelchecken. Bij statistiek zijn er vaak meerdere manieren om een oefening op te lossen. Soms loont het de moeite om dat op het examen ook effectief te doen zodat je zeker bent van je oplossing. Liever twee oefeningen heel degelijk uitwerken dan op diezelfde tijd drie of vier oefeningen half oplossen. Zelfs in tijdsnood kan je vaak een snelle sanity check bedenken, bijvoorbeeld alle berekende frequenties optellen en kijken of je $n$ uit komt. Een andere klassieker is de kardinaliteit van een verzameling bepalen o.b.v. de rekenregels (o.a. $\#2^A = 2^{\# A}$) om zeker te zijn dat je geen elementen vergeten bent.

Na al dat rekenwerk ben je misschien bijna vergeten wat je exact aan het berekenen was. Herlees de vraag nog eens en vraag jezelf dan af of jouw antwoord logisch en plausibel klinkt. Als je een kans buiten het interval $[0, 1]$ uitkomt of als je uitgerekend hebt dat $80\%$ van alle volwassenen kleiner zijn dan $\pu{1.50 m}$ moet je je oplossing misschien toch nog eens herbekijken. Ook resultaten die met de standaard afrondingsregels op nul zouden uitkomen zijn verdacht. Als je echt een heel klein getal moet uitkomen, zal de prof expliciet in de vraag aangeven dat je op meer cijfers na de komma moet afronden.

Reflecteer achteraf

Heb je net een oefening of bewijs opgelost? Proficiat! Helaas stopt het werk hier niet. Voor je verder gaat met de orde van de dag, loont het de moeite om te reflecteren op het proces dat je doorlopen hebt om de oplossing te vinden. Hieronder vind je voorbeelden van vragen die je jezelf zou kunnen stellen.

• Hoe zeker ben je dat jouw oplossing correct is?
• Wat heb je bijgeleerd?
• Wat ging goed?
• Wat ging minder goed?
• Ben je onderweg even op een dwaalspoor beland?
  • Kan je dat herkennen en in de toekomst vermijden?
• Zijn er andere manieren om de oefening op te lossen?
  • Zijn die beter of sneller? Waarom?
  • Geven die dezelfde uitkomst? Waarom?
• Kan je de oplossing veralgemenen?

Door bewust stil te staan bij dit proces, leer je gemakkelijker uit je fouten en zal je ze in de toekomst hopelijk minder snel opnieuw maken.